Sendo 1 e -1 raízes da equação x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0, determine as outras raízes dessa equação.

Para determinar as outras raízes da equação, podemos usar o Teorema de Briot-Ruffini ou o Teorema de D'Alembert. Vamos usar o Teorema de D'Alembert. Sabemos que as raízes da equação são 1, -1 e mais duas raízes desconhecidas. Podemos escrever a equação fatorada da seguinte forma: (x - 1)(x + 1)(ax^2 + bx + c) = 0 Multiplicando os fatores, temos: (x^2 - 1)(ax^2 + bx + c) = 0 Expandindo essa expressão, temos: ax^4 + bx^3 + cx^2 - ax^2 - bx - c = 0 Agora, vamos comparar os coeficientes dessa equação com a equação original: ax^4 + bx^3 + cx^2 - ax^2 - bx - c = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 Comparando os coeficientes de cada potência de x, temos: a = 1 b = 1 c = -6 Portanto, a equação fatorada fica: (x - 1)(x + 1)(x^2 + x - 6) = 0 Agora, podemos resolver a equação quadrática x^2 + x - 6 = 0 para encontrar as outras duas raízes. Podemos fatorar essa equação: (x + 3)(x - 2) = 0 Portanto, as outras duas raízes da equação original são x = -3 e x = 2. Resumindo, as raízes da equação x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0 são 1, -1, -3 e 2.