F 81- Demostrar que el ortocentro de un triángulo ABC, cuyos lados son tangentes a una parábola, se encuentra sobre su directriz. Solución: A B C F...
Solución:
A
B C
F
M
H
FA
FB
FC
t
⋅
El foco F de la parábola se encuentra sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC. Las proyecciones FA, FB y FC de F sobre los tres lados del triángulo, están sobre la tangente t en el vértice, y esta es la recta de Simson correspondiente a F. Como la recta que une el ortocentro de un triángulo con cualquier punto del círculo circunscrito, queda dividida en su punto medio por la recta de Simson de dicho punto, la recta FH (H es el ortocentro del ABC) queda dividida en dos partes iguales por t, luego H está sobre la directriz.
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💡 1 Resposta
Ed 
A demonstração de que o ortocentro de um triângulo ABC, cujos lados são tangentes a uma parábola, está sobre sua diretriz é baseada nas propriedades da reta de Simson e do círculo circunscrito ao triângulo. Primeiramente, sabemos que o foco F da parábola está sobre o círculo circunscrito ao triângulo ABC. As projeções FA, FB e FC de F sobre os três lados do triângulo estão sobre a tangente t no vértice correspondente. A reta de Simson é a reta que une o ortocentro H de um triângulo com qualquer ponto do círculo circunscrito. Essa reta é dividida em seu ponto médio pela reta de Simson correspondente a esse ponto. Portanto, como a reta FH é dividida em duas partes iguais pela tangente t, concluímos que o ortocentro H está sobre a diretriz da parábola. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.
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