2) Sejam A,B ⊆ R conjuntos n~ao vazio e limitados superiormente. Defina A + B := { a + b | a ∈ A e b ∈ B }. Mostre que A + B é um conjunto limitad...

Para mostrar que A + B é um conjunto limitado superiormente, precisamos mostrar que existe um número real M tal que para todo elemento x em A + B, temos x ≤ M. Se A e B são conjuntos limitados superiormente, então existem números reais M1 e M2, respectivamente, tais que para todo elemento a em A e todo elemento b em B, temos a ≤ M1 e b ≤ M2. Agora, vamos considerar um elemento x em A + B. Pela definição de A + B, x é da forma x = a + b, onde a pertence a A e b pertence a B. Como a ≤ M1 e b ≤ M2, podemos concluir que a + b ≤ M1 + M2 para todo a em A e todo b em B. Portanto, temos que para todo elemento x em A + B, x ≤ M1 + M2. Isso significa que A + B é limitado superiormente. Agora, vamos mostrar que Sup(A + B) = Sup(A) + Sup(B). Suponha que M seja o supremo de A + B. Isso significa que para todo elemento x em A + B, temos x ≤ M. Como A + B é definido como {a + b | a ∈ A e b ∈ B}, podemos escolher um elemento a em A e um elemento b em B, de modo que a + b pertença a A + B. Portanto, temos que a + b ≤ M. Como a ≤ Sup(A) e b ≤ Sup(B), podemos concluir que a + b ≤ Sup(A) + Sup(B). Isso significa que Sup(A) + Sup(B) é um limite superior para A + B. Por definição de supremo, Sup(A + B) ≤ Sup(A) + Sup(B). Por outro lado, como a + b pertence a A + B, temos que Sup(A + B) ≥ a + b. Como a e b são elementos arbitrários de A e B, respectivamente, podemos concluir que Sup(A + B) ≥ Sup(A) + Sup(B). Portanto, temos que Sup(A + B) = Sup(A) + Sup(B). Assim, mostramos que A + B é um conjunto limitado superiormente e que Sup(A + B) = Sup(A) + Sup(B).