Seja a equação diferencial y'' + 4y = 0. Sabe-se que as funções y = cos(2x) e y = 3sen(2x) são soluções da equação dada. Determine uma solução que ...

Para encontrar uma solução que atenda a condição inicial, podemos usar o método de combinação linear. Como sabemos que y = cos(2x) e y = 3sen(2x) são soluções da equação dada, podemos escrever uma solução geral como: y = c1*cos(2x) + c2*sen(2x) Para encontrar os valores de c1 e c2, podemos usar as condições iniciais dadas: y(0) = cos(0) - 2sen(0) -cos(0) + 3sen(0) cos(0) + 2sen(0) cos(0) + 2sen(0) cos(0) + sen(0) = -1 y'(0) = -2sen(0) - 4cos(0) + 6cos(0) + 2sen(0) - 4sen(0) + 4cos(0) = -2 Substituindo na solução geral, temos: -1 = c1*cos(0) + c2*sen(0) -2 = -2*c1*sen(0) + 2*c2*cos(0) Como sen(0) = 0 e cos(0) = 1, podemos simplificar as equações: -1 = c1 -2 = 2*c2 Portanto, c2 = -1 e c1 = -1. Substituindo na solução geral, temos: y = -cos(2x) - sen(2x) Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas: y = -cos(2x) - sen(2x) = -sqrt(2)*sen(2x + pi/4) No entanto, essa solução não é a mesma que a resposta correta dada na pergunta. Portanto, pode haver um erro na pergunta ou na resposta.