Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear B: P2 → R³, tal que B(ax² +...
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Tales Gurris Martine

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Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear A: P2 → R³, tal que A(ax² +...

Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear A: P2 → R³, tal que A(ax² + bx + c) = (a + b + c, a + 2b – c, 2a + b). Pode-se afirmar que: Escolha uma opção: a. A é injetora, mas não é sobrejetora. b. A é bijeção, mas não é isomorfismo. c. A é sobrejetora, mas não é injetora. d. A não é injetora nem sobrejetora. e. A é isomorfismo de P2 em R³.

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Tales Gurris Martine

03/06/2023

Ed · Answer

Para determinar se a transformação linear A é injetora, sobrejetora ou isomorfismo, precisamos analisar o núcleo e a imagem da transformação.

O núcleo de A é o conjunto de todos os polinômios em P2 que são mapeados em zero em R³. Ou seja, precisamos encontrar todos os polinômios ax² + bx + c em P2 que satisfazem A(ax² + bx + c) = (0, 0, 0) em R³. Isso implica em resolver o sistema de equações lineares:

a + b + c = 0
a + 2b - c = 0
2a + b = 0

Podemos resolver esse sistema usando eliminação de Gauss ou outra técnica de álgebra linear. A solução é a = b = c = 0, o que significa que o núcleo de A contém apenas o polinômio nulo em P2.

A imagem de A é o conjunto de todos os vetores em R³ que são da forma A(ax² + bx + c) para algum polinômio ax² + bx + c em P2. Podemos reescrever A(ax² + bx + c) como uma combinação linear dos vetores canônicos de R³:

A(ax² + bx + c) = a(1, 1, 2) + b(1, 2, 0) + c(1, -1, 0)

Isso significa que a imagem de A é o espaço gerado pelos vetores (1, 1, 2), (1, 2, 0) e (1, -1, 0) em R³. Podemos verificar que esses vetores são linearmente independentes, portanto formam uma base para a imagem de A. Como a dimensão da imagem de A é 3, que é igual à dimensão do espaço de chegada R³, podemos concluir que A é sobrejetora.

Como o núcleo de A contém apenas o polinômio nulo e A é sobrejetora, podemos concluir que A é injetora. Portanto, a opção correta é a letra e: A é isomorfismo de P2 em R³.

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