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ontextualização Prezado(a) Estudante, Como já é sabido o teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de Green (que trata de integ...

ontextualização Prezado(a) Estudante, Como já é sabido o teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de Green (que trata de integrais sobre contorno fechados, em que se é necessário distinguir entre as duas orientações possíveis do contorno, uma das quais é escolhida como a orientação positiva), para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa. Proposta Com base no teorema de Stokes ou no processo de cálculo direto (sem o teorema de Stokes), calcule, apresentando os cálculos, o valor da integral: ∬Fn dS Onde: Fx,y, z=y i+x+yk, u,v=u,v,2-u2-v2 Com: u2+v2≤1 Sendo n, a normal apontando para cima. Submeta o arquivo de sua resposta para avaliação docente. Bons estudos!

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A integral ∬Fn dS pode ser calculada utilizando o Teorema de Stokes. Primeiramente, é necessário calcular o rotacional do campo vetorial F. Calculando o rotacional de F, temos: rot(F) = (dFz/dy - dFy/dz)i + (dFx/dz - dFz/dx)j + (dFy/dx - dFx/dy)k rot(F) = i + j + k Agora, podemos aplicar o Teorema de Stokes: ∬Fn dS = ∭rot(F) dV Como a região de integração é o interior do cilindro de raio 1 e altura 2, podemos escrever: ∬Fn dS = ∭rot(F) dV = ∫0^2 ∫0^2π ∫0^1 (1+1+1) r dr dθ dz ∬Fn dS = ∭rot(F) dV = ∫0^2 ∫0^2π 3r dθ dz ∬Fn dS = ∭rot(F) dV = 12π Portanto, o valor da integral é 12π.

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