Proposta Com base no teorema de Stokes ou no processo de cálculo direto (sem o teorema de Stokes), calcule, apresentando os cálculos, o valor da i...

A integral dada é uma integral de superfície, que pode ser calculada usando o Teorema de Stokes ou diretamente. Usando o Teorema de Stokes, podemos calcular a integral de superfície como a integral do rotacional do campo vetorial F sobre a curva C que delimita a superfície S. Primeiro, precisamos encontrar o rotacional de F: rot(F) = (dFz/dy - dFy/dz) i + (dFx/dz - dFz/dx) j + (dFy/dx - dFx/dy) k = i + j + k Agora, precisamos encontrar a curva C que delimita a superfície S. A superfície S é a parte do parabolóide z = 2 - x^2 - y^2 que está acima do plano xy. A curva C é a interseção da superfície S com o plano xy, que é o círculo de raio 1 centrado na origem. Podemos parametrizar a curva C como r(u, v) = (u, v, 2 - u^2 - v^2), onde u^2 + v^2 ≤ 1. Agora podemos aplicar o Teorema de Stokes: ∬Fn dS = ∫∫rot(F) · dS = ∫∫(i + j + k) · (dr/du x dr/dv) du dv = ∫∫(i + j + k) · (-2u i - 2v j + k) du dv = ∫∫(-2u + 2v + 1) du dv = ∫[-1,1]∫[-sqrt(1-u^2),sqrt(1-u^2)](-2u + 2v + 1) dv du = ∫[-1,1](-4/3)u^3 + 2u du = 0 Portanto, o valor da integral é zero.