Hallar y clasificar los extremos de la función f(x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 − xy en la región R ⊆ R3 definida por las ecuaciones x2 + y2 + z2 ≤ 1 −...

Para encontrar e classificar os extremos da função f(x, y, z) = 2x² + y² + z² - xy na região R ⊆ R³ definida pelas equações x² + y² + z² ≤ 1 e -1/2 ≤ x ≤ 1/2 e y ≥ -1/2, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, vamos calcular os gradientes das funções f(x, y, z) e g(x, y, z), onde g(x, y, z) = x² + y² + z² - 1. ∇f(x, y, z) = (4x - y, 2y - x, 2z) ∇g(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) Agora, vamos igualar os gradientes e resolver o sistema de equações: 4x - y = λ * 2x 2y - x = λ * 2y 2z = λ * 2z x² + y² + z² = 1 Podemos simplificar as equações: 2x - λ * 4x + y = 0 2y - λ * 2y + x = 0 2z - λ * 2z = 0 x² + y² + z² = 1 Agora, vamos analisar os casos possíveis: 1) λ = 0: Nesse caso, temos as seguintes equações: 2x + y = 0 x + 2y = 0 2z = 0 x² + y² + z² = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos as seguintes soluções: x = 0, y = 0, z = ±1 2) λ ≠ 0: Nesse caso, podemos dividir as equações por λ e obter: 2x/λ - 4x + y = 0 2y/λ - 2y + x = 0 2z/λ - 2z = 0 x² + y² + z² = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos as seguintes soluções: x = 0, y = 0, z = ±1 Portanto, os extremos da função f(x, y, z) = 2x² + y² + z² - xy na região R são os pontos (0, 0, 1) e (0, 0, -1).