Haga el cambio z = dy/dx y exprese z como una función de y , para resolver la ecuación. y y′′ = (y′)2 O enunciado apresenta uma equação diferenc...

Para resolver a equação diferencial y y′′ = (y′)2, podemos fazer o seguinte: 1. Faça o seguinte substituição: z = dy/dx. Isso significa que z é a derivada de y em relação a x. 2. Agora, vamos expressar z como uma função de y. Para isso, podemos usar a regra da cadeia para derivadas. Temos que z = dy/dx = dy/dy * dy/dx = (1/y) * dy/dx. 3. Substitua z na equação diferencial original: y * (1/y) * dy/dx = (dy/dx)2. 4. Simplifique a equação: dy/dx = (dy/dx)2. 5. Agora, podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis. Divida ambos os lados da equação por (dy/dx)2: 1/(dy/dx) = 1. 6. Integre ambos os lados da equação em relação a x: ∫(1/(dy/dx)) dx = ∫1 dx. 7. A integral do lado esquerdo é ∫(1/(dy/dx)) dx = ∫(1/z) dz = ln|z| + C1, onde C1 é uma constante de integração. 8. A integral do lado direito é ∫1 dx = x + C2, onde C2 é outra constante de integração. 9. Portanto, temos ln|z| + C1 = x + C2. 10. Podemos simplificar essa equação usando a propriedade dos logaritmos: ln|z| = x + C, onde C = C2 - C1 é uma nova constante de integração. 11. Agora, vamos substituir z pela expressão original: ln|dy/dx| = x + C. 12. Exponencie ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo: |dy/dx| = e^(x + C). 13. Como a expressão dentro do valor absoluto é positiva, podemos remover o valor absoluto: dy/dx = e^(x + C). 14. Agora, podemos resolver essa equação diferencial separando as variáveis novamente. Divida ambos os lados da equação por e^(x + C): (1/e^(x + C)) dy = dx. 15. Integre ambos os lados da equação em relação a y: ∫(1/e^(x + C)) dy = ∫dx. 16. A integral do lado esquerdo é ∫(1/e^(x + C)) dy = -1/e^(x + C) + C3, onde C3 é uma constante de integração. 17. A integral do lado direito é ∫dx = x + C4, onde C4 é outra constante de integração. 18. Portanto, temos -1/e^(x + C) + C3 = x + C4. 19. Podemos simplificar essa equação: -1/e^(x + C) = x + C5, onde C5 = C4 - C3 é uma nova constante de integração. 20. Agora, vamos resolver essa equação para y. Multiplicando ambos os lados por e^(x + C), obtemos: -1 = (x + C5) * e^(x + C). 21. Podemos reescrever essa equação como: e^(x + C) = -1/(x + C5). 22. Agora, vamos tomar o logaritmo natural de ambos os lados da equação para eliminar a exponencial: x + C = ln(-1/(x + C5)). 23. Portanto, temos a solução final: y = A * e^(x + C), onde A e C são constantes arbitrárias. Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.