P3) [34 Ptos.] Resolver por separación de variable el siguiente problema ut − (1 + 2t)uxx = 0 ; 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = 0, ux(π, t) = 0 ; t > 0...

Para resolver este problema, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t: u(x,t) = X(x)T(t) Substituindo na equação diferencial parcial, temos: T'(t)X(x) - (1 + 2t)X''(x)T(t) = 0 Dividindo ambos os lados por X(x)T(t), obtemos: T'(t)/T(t) = (1 + 2t)X''(x)/X(x) Como o lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito depende apenas de x, eles devem ser iguais a uma constante, que denotamos por -λ^2: T'(t)/T(t) = -λ^2 (1 + 2t)X''(x)/X(x) = -λ^2 Resolvendo a primeira equação, temos: T(t) = c1 exp(-λ^2 t) Para a segunda equação, podemos resolver a equação diferencial ordinária associada: X''(x) + λ^2 X(x)/(1 + 2t) = 0 A solução geral dessa equação é dada por: X(x) = c2 cos(sqrt(λ^2/(1 + 2t)) x) + c3 sin(sqrt(λ^2/(1 + 2t)) x) Portanto, a solução geral da equação diferencial parcial é dada por: u(x,t) = (c1 exp(-λ^2 t))(c2 cos(sqrt(λ^2/(1 + 2t)) x) + c3 sin(sqrt(λ^2/(1 + 2t)) x)) Para encontrar os valores de c1, c2 e c3, usamos as condições de contorno: u(0,t) = 0 => c2 = 0 ux(π,t) = 0 => c3 sqrt(λ^2/(1 + 2t)) cos(sqrt(λ^2/(1 + 2t)) π) = 0 Como c3 não pode ser zero, a única solução é: sqrt(λ^2/(1 + 2t)) π = n π, onde n é um número inteiro positivo Portanto, λ^2 = n^2(1 + 2t)/π^2 e a solução final é dada por: u(x,t) = Σ c1n exp(-n^2(1 + 2t)π^2) sin(nx) onde a soma é sobre todos os valores inteiros positivos de n. Para encontrar os valores de c1n, usamos a condição inicial: u(x,0) = -4 sen(7x/2) = Σ c1n sin(nx) Multiplicando ambos os lados por sin(mx) e integrando de 0 a π, obtemos: c1n = (-4/π) ∫[0,π] sen(7x/2) sin(nx) dx Resolvendo a integral, encontramos: c1n = (-8/π) [(7 sin((7 - n)π/4) - sin((7 + n)π/4))/((49 - n^2)π)] Portanto, a solução final é dada por: u(x,t) = (-8/π) Σ [(7 sin((7 - n)π/4) - sin((7 + n)π/4))/((49 - n^2)π)] exp(-n^2(1 + 2t)π^2) sin(nx)