Sejam A, B ∈ ℳ3×3 (ℝ) tais que det A = −2 e det B = ¼ Calcule: 1. det (2A) 2. det (A4BT) 3. det (−B) 4. det (5ATB) 5. det (AB–1AT) 6. det (B–1A2B) ...

Vamos calcular cada uma das expressões: 1. det(2A): Como temos um escalar multiplicando a matriz A, basta multiplicar o determinante de A por 2 elevado à ordem da matriz. Nesse caso, a matriz A é 3x3, então temos: det(2A) = 2^3 * det(A) = 8 * (-2) = -16. 2. det(A4BT): Nesse caso, temos uma matriz A multiplicada por 4, seguida de uma matriz B transposta. Podemos aplicar as propriedades do determinante para calcular: det(A4BT) = det(A) * det(4B) * det(BT). O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, então temos: det(A4BT) = det(A) * 4^3 * det(B) = (-2) * 64 * (1/4) = -32. 3. det(-B): Nesse caso, temos uma matriz B multiplicada por -1. O determinante de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao determinante da matriz multiplicado pelo escalar elevado à ordem da matriz. Como B é 3x3, temos: det(-B) = (-1)^3 * det(B) = -1 * (1/4) = -1/4. 4. det(5ATB): Aqui temos uma matriz A transposta multiplicada por uma matriz B. Podemos aplicar as propriedades do determinante: det(5ATB) = det(5A) * det(B) * det(AT). O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, então temos: det(5ATB) = 5^3 * (-2) * det(B) = 125 * (-2) * (1/4) = -62.5. 5. det(AB^(-1)AT): Nesse caso, temos uma matriz A multiplicada por uma matriz B inversa, seguida de uma matriz A transposta. Podemos aplicar as propriedades do determinante: det(AB^(-1)AT) = det(A) * det(B^(-1)) * det(A) * det(AT). O determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante da matriz original, então temos: det(AB^(-1)AT) = det(A) * (1/det(B)) * det(A) * det(A) = (-2) * (1/(1/4)) * (-2) * (-2) = -32. 6. det(B^(-1)A^2B): Aqui temos uma matriz B inversa multiplicada por uma matriz A ao quadrado, seguida de uma matriz B. Podemos aplicar as propriedades do determinante: det(B^(-1)A^2B) = det(B^(-1)) * det(A^2) * det(B). O determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante da matriz original, então temos: det(B^(-1)A^2B) = (1/det(B)) * (det(A))^2 * det(B) = (1/(1/4)) * (-2)^2 * (1/4) = 4. 7. det[1/2 (B^(-1))^T]: Nesse caso, temos uma matriz B inversa transposta multiplicada por 1/2. Podemos aplicar as propriedades do determinante: det[1/2 (B^(-1))^T] = (1/2)^3 * det(B^(-1)) = 1/8 * (1/(1/4)) = 2. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.