Seja o campo vetorial F⃗ (x, y, z) = (ez,− zx/(x2 + y2 + z2), xy/(x2 + y2 + z2)) e a superfície S descrita por x2/4 + y2/9 + z2/16 = 1, orientada p...

Question

Seja o campo vetorial F⃗ (x, y, z) = (ez,− zx/(x2 + y2 + z2), xy/(x2 + y2 + z2)) e a superfície S descrita por x2/4 + y2/9 + z2/16 = 1, orientada pelo vetor normal unitário exterior. Calcule ∫∫S F⃗ · n̂ dS.
a) Determinar o vetor normal unitário exterior n̂Sϵ.
b) Parametrizar a superfície Sϵ.
c) Calcular a integral de superfície ∫∫S F⃗ · n̂ dS.
I- O campo F⃗ (x, y, z) é de classe C1 em todo R3.
II- A superfície Sϵ está contida no sólido limitado por S.
III- A integral de superfície ∫∫S F⃗ · n̂ dS é igual a zero.
IV- A superfície Sϵ é parametrizada por Φ(θ, φ) = (ϵ cos θ sinφ, ϵ sin θ sinφ, ϵ cosφ), com 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.
a) I e II estão corretas.
b) II e III estão corretas.
c) III e IV estão corretas.
d) I e IV estão corretas.

Ed · Answer

a) Para determinar o vetor normal unitário exterior n̂Sϵ, basta calcular o gradiente da função que define a superfície Sϵ e normalizá-lo. Temos:

grad(x²/4 + y²/9 + z²/16 - 1) = (x/2, 2y/9, z/8)
||grad(x²/4 + y²/9 + z²/16 - 1)|| = sqrt(x²/4 + y²/9 + z²/16)

Portanto, o vetor normal unitário exterior é:

n̂Sϵ = (x/2, 2y/9, z/8) / sqrt(x²/4 + y²/9 + z²/16)

b) Para parametrizar a superfície Sϵ, podemos usar a parametrização dada em IV:

Φ(θ, φ) = (ϵ cos θ sinφ, ϵ sin θ sinφ, ϵ cosφ), com 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ π.

c) Para calcular a integral de superfície ∫∫S F⃗ · n̂ dS, podemos usar o Teorema de Gauss:

∫∫S F⃗ · n̂ dS = ∭E div F⃗ dV

Onde E é o sólido limitado por S e div F⃗ é a divergência do campo vetorial F⃗. Temos:

div F⃗ = ∂(ez)/∂x + ∂(-zx/(x² + y² + z²))/∂y + ∂(xy/(x² + y² + z²))/∂z
div F⃗ = e^z - z(x² + y² - 2z²)/(x² + y² + z²)^(3/2)

Podemos calcular a integral de volume usando coordenadas esféricas:

∭E div F⃗ dV = ∫0^2π ∫0^π ∫0^1 e^ϵcosφ ϵ²sinφ - ϵ cosφ(sin²θ + cos²θ - 2cos²φ) dϵ dφ dθ
∭E div F⃗ dV = 0

Portanto, a alternativa correta é a letra c) III e IV estão corretas.

Seja o campo vetorial F⃗ (x, y, z) = (ez,− zx/(x2 + y2 + z2), xy/(x2 + y2 + z2)) e a superfície S descrita por x2/4 + y2/9 + z2/16 = 1, orientada p...

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