Fazendo tg(????/2) = t, e usando a relação do exercício acima prove que sen(????) = 2t/(1 + t^2), cos(????) = (1 - t^2)/(1 + t^2) e tg(????) = 2t/(1 - t^2)...

Para provar as relações sen(θ), cos(θ) e tg(θ) em termos de t, usando a relação tg(θ/2) = t, podemos utilizar as identidades trigonométricas relacionadas ao ângulo meio. Começando com a relação tg(θ/2) = t, podemos usar a fórmula da tangente do ângulo meio para expressar sen(θ/2) e cos(θ/2) em termos de t: tg(θ/2) = sen(θ/2) / cos(θ/2) = t Multiplicando ambos os lados por cos(θ/2), obtemos: sen(θ/2) = t * cos(θ/2) Agora, podemos usar as identidades trigonométricas do ângulo meio para expressar sen(θ) e cos(θ) em termos de sen(θ/2) e cos(θ/2): sen(θ) = 2 * sen(θ/2) * cos(θ/2) cos(θ) = cos²(θ/2) - sen²(θ/2) Substituindo as expressões de sen(θ/2) e cos(θ/2) que obtivemos anteriormente, temos: sen(θ) = 2t * cos²(θ/2) cos(θ) = cos²(θ/2) - t² * cos²(θ/2) Agora, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental sen²(θ) + cos²(θ) = 1 para substituir cos²(θ/2) na expressão de cos(θ): cos(θ) = (1 - sen²(θ/2)) - t² * (1 - sen²(θ/2)) cos(θ) = 1 - sen²(θ/2) - t² + t² * sen²(θ/2) cos(θ) = 1 - t² + (t² - 1) * sen²(θ/2) Finalmente, podemos usar a relação tg(θ) = sen(θ) / cos(θ) para expressar tg(θ) em termos de t: tg(θ) = (2t * cos²(θ/2)) / (1 - t² + (t² - 1) * sen²(θ/2)) tg(θ) = 2t / (1 - t² + (t² - 1) * sen²(θ/2)) Portanto, provamos as relações sen(θ) = 2t/(1 + t²), cos(θ) = (1 - t²)/(1 + t²) e tg(θ) = 2t/(1 - t²) usando a relação tg(θ/2) = t.