Calcule o cosseno do ângulo formado por duas alturas do tetraedro regular da figura abaixo, sabendo-se que sua aresta mede a.

Para calcular o cosseno do ângulo formado por duas alturas do tetraedro regular, podemos utilizar a fórmula do cosseno. Sabemos que o tetraedro regular possui quatro faces equiláteras e congruentes, e que suas alturas se encontram no mesmo ponto, que é o baricentro. Assim, podemos considerar um triângulo equilátero formado por duas arestas do tetraedro e a altura correspondente a uma dessas arestas. Pela lei dos cossenos, temos que: a² = b² + c² - 2bc.cos(A) Onde a é a aresta do tetraedro, b e c são as outras duas arestas do triângulo equilátero e A é o ângulo formado por essas duas arestas. Como as arestas do triângulo equilátero são iguais, podemos substituir b e c por a, e como o ângulo formado pelas duas alturas do tetraedro é complementar ao ângulo A, temos que: cos(A) = cos(90° - θ) = sen(θ) Onde θ é o ângulo formado pelas duas alturas do tetraedro. Substituindo na fórmula do cosseno, temos: a² = 2a² - 2a².sen(θ) sen(θ) = (a² - a²/2) / a² sen(θ) = 1/2 cos(θ) = √(1 - sen²(θ)) cos(θ) = √(1 - 1/4) cos(θ) = √3/2 Portanto, o cosseno do ângulo formado por duas alturas do tetraedro regular é √3/2.