Seja (an) uma sequência real tal que an > 0 para todo n ∈ N. Mostre que (a) se limn(1− an+1/an) > 1, então a série ∑an converge. (b) se limn(1− ...

Para provar as afirmações (a), (b) e (c), podemos utilizar o critério da razão para séries. (a) Se limn(1 - an+1/an) > 1, então podemos escolher um número real r tal que 1 < r < limn(1 - an+1/an). Como an > 0 para todo n ∈ N, temos que an+1/an < 1 para todo n ∈ N. Portanto, existe um número natural N tal que para todo n > N, temos que an+1/an < r. Agora, podemos utilizar o critério da razão para séries. Se an+1/an < r para todo n > N, então a série ∑an converge. (b) Se limn(1 - an+1/an) < 1, então podemos escolher um número real r tal que limn(1 - an+1/an) < r < 1. Como an > 0 para todo n ∈ N, temos que an+1/an > 0 para todo n ∈ N. Portanto, existe um número natural N tal que para todo n > N, temos que an+1/an > r. Agora, podemos utilizar o critério da razão para séries. Se an+1/an > r para todo n > N, então a série ∑an diverge. (c) Se limn(1 - an+1/an) = 1, não podemos afirmar nada sobre a convergência da série ∑an. Nesse caso, é necessário utilizar outros critérios ou técnicas para determinar a convergência ou divergência da série. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.