Seja (an) uma sequência real tal que an > 0 para todo n ∈ N. Mostre que (a) se limn(1− an+1/an) > 1, então a série ∑an converge. (b) se limn(1− ...

Para provar que se limn(1− an+1/an) > 1, então a série ∑an converge, podemos utilizar o critério da comparação no seguinte formato: Dado que limn(1− an+1/an) > 1, podemos escolher um número real positivo r tal que 1 < r < limn(1− an+1/an). Como an > 0 para todo n ∈ N, temos que an+1/an < r para n suficientemente grande. Assim, podemos escrever an+1 < ran para n suficientemente grande. Podemos escolher um número real positivo q tal que 1 < q < r. Como limn(1− an+1/an) > 1, temos que an+1/an → 1 quando n → ∞. Portanto, existe um número natural N tal que an+1/an > q para todo n ≥ N. Assim, para todo n ≥ N, temos que an+1 < ran e an+1/an > q. Portanto, temos que an < (r/q)an+1 para todo n ≥ N. Como r/q > 1, podemos aplicar o critério da comparação para concluir que a série ∑an converge. Para provar que se limn(1− an+1/an) < 1, então a série ∑an diverge, podemos utilizar o critério da divergência. Suponha que limn(1− an+1/an) < 1. Então, existe um número real positivo r tal que 0 < r < 1 − limn(1− an+1/an). Como an > 0 para todo n ∈ N, temos que an+1/an > r para n suficientemente grande. Portanto, an+1 > ran para n suficientemente grande. Se a série ∑an converge, então a série ∑an+1 também converge. Mas isso implica que a série ∑(an+1 − an) = a2 − a1 + a3 − a2 + a4 − a3 + ... converge. No entanto, temos que an+1 − an > r para n suficientemente grande. Portanto, a série ∑(an+1 − an) diverge por comparação com a série geométrica ∑r^n, que é divergente para 0 < r < 1. Isso é uma contradição, portanto a série ∑an deve divergir. Para provar que se limn(1− an+1/an) = 1, nada podemos afirmar sobre a convergência de ∑an, podemos utilizar o exemplo da série harmônica alternada. Considere a sequência an = (-1)^n/n. Temos que an+1/an = -1/(n+1), que converge para 1 quando n → ∞. No entanto, a série ∑an é conhecida como a série harmônica alternada, que é convergente. Portanto, não podemos afirmar nada sobre a convergência ou divergência da série ∑an quando limn(1− an+1/an) = 1.