Seja X ⊆ R um conjunto infinito e limitado. Utilize o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequências para mostrar que o conjunto dos pontos de acu...
Seja X ⊆ R um conjunto infinito e limitado. Utilize o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequências para mostrar que o conjunto dos pontos de acumulação de X é não vazio.
Utilizar o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequências.
Demonstrar que o conjunto dos pontos de acumulação de X é não vazio.
Utilizar o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequências.
Demonstrar que o conjunto dos pontos de acumulação de X é não vazio.
💡 1 Resposta
Ed 
O Teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Seja X um conjunto infinito e limitado. Considere uma sequência (x_n) em X. Como X é limitado, a sequência (x_n) também é limitada. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsequência (x_nk) convergente em X. Seja L o limite dessa subsequência. Como (x_nk) é uma subsequência de (x_n), temos que L é um ponto de acumulação de X. Portanto, o conjunto dos pontos de acumulação de X é não vazio.
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