Considere a sequência (xn) definida indutivamente por x1 = √2 e xn+1 = √2 + xn para n > 1. Mostre que (a) (xn) é limitada. (b) (xn) é monótona ...

(a) Para mostrar que a sequência (xn) é limitada, podemos usar o princípio da indução matemática. Base: Temos que x1 = √2, que é um número real positivo. Portanto, x1 é limitado. Hipótese: Suponha que xn seja limitado, ou seja, existe um número real M tal que |xn| ≤ M para todo n. Passo da indução: Vamos mostrar que xn+1 também é limitado. Temos que xn+1 = √2 + xn. Pela hipótese de indução, sabemos que |xn| ≤ M. Portanto, |xn+1| = |√2 + xn| ≤ |√2| + |xn| ≤ √2 + M. Podemos escolher um número real N = √2 + M. Assim, temos |xn+1| ≤ N para todo n. Portanto, a sequência (xn) é limitada. (b) Para mostrar que a sequência (xn) é monótona não-decrescente, podemos usar o princípio da indução matemática. Base: Temos que x1 = √2. Hipótese: Suponha que xn seja não-decrescente, ou seja, xn ≤ xn+1 para todo n. Passo da indução: Vamos mostrar que xn+1 também é não-decrescente. Temos que xn+1 = √2 + xn. Pela hipótese de indução, sabemos que xn ≤ xn+1. Portanto, xn ≤ xn+1 ≤ xn+1 + √2. Assim, a sequência (xn) é monótona não-decrescente. (c) Para mostrar que a sequência (xn) é convergente e encontrar seu limite, podemos observar que a sequência é limitada e monótona não-decrescente. Portanto, pelo teorema do limite de sequências monótonas, sabemos que a sequência (xn) é convergente. Para encontrar o limite, podemos usar a fórmula xn+1 = √2 + xn. Suponha que o limite da sequência seja L. Então, temos L = √2 + L. Resolvendo essa equação, encontramos L = √2. Portanto, a sequência (xn) é convergente e seu limite é √2.