a) Dada la función f(x), hallar su derivada f ‘(x) y analizar si la función es derivable en todo su dominio, justifique su respuesta. b) Hallar la ...

a) Para encontrar a derivada de f(x), é necessário aplicar a regra da cadeia. Assim, temos: f'(x) = 2x(1 - x^2)^2 - 2(2x^3 - x)(2x(1 - x^2)) f'(x) = -4x^4 + 6x^2 Para analisar a derivabilidade de f(x) em todo o seu domínio, é necessário verificar se a função é contínua e se a derivada existe em todos os pontos do domínio. Como a função é uma polinomial, ela é contínua em todo o seu domínio. Além disso, a derivada existe em todo o domínio, portanto, a função é derivável em todo o seu domínio. b) Para encontrar a equação da reta tangente a f(x) no ponto de abscissa x = 2, é necessário calcular o valor da função nesse ponto e o valor da derivada nesse ponto. Assim, temos: f(2) = 2(2)^2(1 - 2^2) = -8 f'(2) = -4(2)^4 + 6(2)^2 = -32 A equação da reta tangente é dada por y - f(2) = f'(2)(x - 2). Substituindo os valores encontrados, temos: y + 8 = -32(x - 2) y = -32x + 72 Portanto, a equação da reta tangente a f(x) no ponto de abscissa x = 2 é y = -32x + 72.