Para calcular o volume do sólido que está sob o parabolide z = x² + y², acima do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x, precisamos determinar ...

Question

Para calcular o volume do sólido que está sob o parabolide z = x² + y², acima do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Encontrando o limite de integração para x. Para isso, igualamos a equação do cilindro a 2x: x² + y² = 2x. x² - 2x + y² = 0. (x - 1)² + y² = 1. Podemos ver que o cilindro possui raio 1 e está centrado em x = 1. Agora, para encontrar os limites de integração para y, podemos usar coordenadas polares. Substituindo x por rcosθ e y por rsinθ, temos: (rcosθ - 1)² + (rsinθ)² = 1. r²cos²θ - 2rcosθ + 1 + r²sin²θ = 1. r²(cos²θ + sin²θ) - 2rcosθ + 1 = 1. r² - 2rcosθ + 1 = 1. r² - 2rcosθ = 0. r(rcosθ - 2) = 0. r = 0 ou r = 2cosθ. O limite inferior para r é 0, pois representa o ponto no centro do cilindro. O limite superior para r é 2cosθ, pois o sólido está dentro do cilindro. Para z, o sólido está acima do plano xy, então o limite inferior é dado pela função z = x² + y², que é sempre não negativa. O limite superior é dado pelo parabolide z = x² + y². Agora podemos escrever a integral tripla para calcular o volume:

Ed · Answer

Para calcular o volume do sólido descrito, podemos escrever a integral tripla considerando os limites de integração encontrados. A integral tripla para calcular o volume é dada por:

V = ∫∫∫ (x² + y²) dz dy dx

Os limites de integração para x são determinados pelo cilindro x² + y² = 2x, que pode ser reescrito como (x - 1)² + y² = 1. Portanto, os limites de integração para x são de 0 a 2cosθ.

Os limites de integração para y são determinados pela mesma equação do cilindro, que é (x - 1)² + y² = 1. Usando coordenadas polares, podemos substituir x por rcosθ e y por rsinθ. Portanto, os limites de integração para y são de 0 a 2cosθ.

Os limites de integração para z são determinados pelo parabolide z = x² + y². O limite inferior é dado pela função z = x² + y², que é sempre não negativa. O limite superior é dado pelo parabolide z = x² + y².

Portanto, a integral tripla para calcular o volume é:

V = ∫[0 to 2π] ∫[0 to 2cosθ] ∫[x² + y² to x² + y²] (x² + y²) dz dy dx

Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.

Para calcular o volume do sólido que está sob o parabolide z = x² + y², acima do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x, precisamos determinar ...

Cálculo, Funções de Uma e Várias Variáveis

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Cálculo, Funções de Uma e Várias Variáveis • Universidade Anhembi MorumbiUniversidade Anhembi Morumbi

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