ATIV 3 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Para calcular o volume do sólido que está sob o parabolide z = x² + y², 
acima do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x, precisamos determinar os 
limites de integração para x, y e z. 
Encontrando o limite de integração para x. Para isso, igualamos a 
equação do cilindro a 2x: 
x² + y² = 2x 
x² - 2x + y² = 0 
(x - 1)² + y² = 1 
Podemos ver que o cilindro possui raio 1 e está centrado em x = 1. 
Agora, para encontrar os limites de integração para y, podemos usar 
coordenadas polares. Substituindo x por rcosθ e y por rsinθ, temos: 
(rcosθ - 1)² + (rsinθ)² = 1 
r²cos²θ - 2rcosθ + 1 + r²sin²θ = 1 
r²(cos²θ + sin²θ) - 2rcosθ + 1 = 1 
r² - 2rcosθ + 1 = 1 
r² - 2rcosθ = 0 
r(rcosθ - 2) = 0 
r = 0 ou r = 2cosθ 
O limite inferior para r é 0, pois representa o ponto no centro do cilindro. 
O limite superior para r é 2cosθ, pois o sólido está dentro do cilindro. 
Para z, o sólido está acima do plano xy, então o limite inferior é dado 
pela função z = x² + y², que é sempre não negativa. O limite superior é dado 
pelo parabolide z = x² + y². 
Agora podemos escrever a integral tripla para calcular o volume: 
 
V = ∫∫∫ E dV 
V = ∫[0,2π] ∫[0,2cosθ] ∫[0,x²+y²] dz dr dθ 
V = ∫[0,2π] ∫[0,2cosθ] (x² + y²) dr dθ 
V = ∫[0,2π] ∫[0,2cosθ] (r²) r dr dθ 
V = ∫[0,2π] ∫[0,2cosθ] (r³) dr dθ 
V = ∫[0,2π] [(1/4)r⁴] |[0,2cosθ] dθ 
V = ∫[0,2π] [(1/4)(16cos⁴θ)] dθ 
V = ∫[0,2π] (4cos⁴θ) dθ 
Para calcular essa integral, podemos usar fórmulas trigonométricas ou 
integração por partes. Integrando, encontramos: 
 
V = [(2θ + sin(2θ) + (1/8)sin(4θ))] |[0,2π] 
V = (2(2π) + sin(2(2π)) + (1/8)sin(4(2π))) - (2(0) + sin(2(0)) + (1/8)sin(4(0))) 
V = 4π + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 
V = 4π 
 
Portanto, o volume do sólido que está sob o parabolide z = x² + y², acima 
do plano xy e dentro do cilindro x² + y² = 2x é igual a 4π cm³. Para que o 
volume seja igual a 4,7 cm³, seria necessário ajustar as dimensões do sólido ou 
os parâmetros das equações