Dada f : R → R, suponha que exista uma constante c > 0 tal que, para quaisquer x, y, vale |f(x) − f(y)| ≤ c|x − y|. Prove que f é contínua.
Matemática
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UFC
Saigus urameshi

Question

Dada f : R → R, suponha que exista uma constante c > 0 tal que, para quaisquer x, y, vale |f(x) − f(y)| ≥ c|x − y|. Prove que é injetiva.

Ed · Answer

Para provar que f é injetiva, precisamos mostrar que f(x) = f(y) implica x = y.

Suponha que f(x) = f(y). Então, |f(x) - f(y)| = 0.

Mas, pela hipótese do enunciado, temos que |f(x) - f(y)| ≥ c|x - y|.

Portanto, c|x - y| = 0, o que implica que x = y.

Logo, f é injetiva.

Dada f : R → R, suponha que exista uma constante c > 0 tal que, para quaisquer x, y, vale |f(x) − f(y)| ≥ c|x − y|. Prove que é injetiva.