Seja f : RN → RN uma função cont́ınua e suponha que exista κ > 0 tal que |x− y| ≤ κ|f(x)− f(y)|, x, y ∈ RN . Mostre que f é injetora, que f(RN) ...

Para mostrar que a função f é injetora, podemos usar o fato de que se f(x) = f(y), então x = y. Suponha que existam dois pontos x e y em RN tais que f(x) = f(y). Então, temos: |x - y| ≤ κ|f(x) - f(y)| Mas como f(x) = f(y), temos: |x - y| ≤ κ|0| = 0 Isso implica que x - y = 0, ou seja, x = y. Portanto, f é injetora. Para mostrar que f(RN) é fechado em RN, podemos usar o fato de que se uma sequência (xn) em f(RN) converge para um ponto x em RN, então x também pertence a f(RN). Suponha que (xn) seja uma sequência em f(RN) que converge para um ponto x em RN. Como f(RN) é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x), podemos escolher uma sequência correspondente (yn) em RN tal que f(yn) = xn para todo n. Como (xn) converge para x, temos que (yn) também converge para x. Como f é contínua, isso implica que f(yn) = xn converge para f(x). Mas f(yn) = xn para todo n, então f(x) = xn para todo n. Portanto, x pertence a f(RN), mostrando que f(RN) é fechado em RN. Para mostrar que a inversa f^(-1) : f(RN) → RN é contínua, podemos usar o fato de que se uma sequência (xn) em f(RN) converge para um ponto x em f(RN), então a sequência correspondente (f^(-1)(xn)) converge para f^(-1)(x). Suponha que (xn) seja uma sequência em f(RN) que converge para um ponto x em f(RN). Podemos escolher uma sequência correspondente (yn) em RN tal que f(yn) = xn para todo n. Como (xn) converge para x, temos que (yn) também converge para f^(-1)(x). Como f é contínua, isso implica que f(yn) = xn converge para f^(-1)(x). Mas f(yn) = xn para todo n, então f^(-1)(xn) = yn converge para f^(-1)(x). Portanto, f^(-1) é contínua. Assim, mostramos que f é injetora, f(RN) é fechado em RN e f^(-1) é contínua.