Determine o valor da seguinte integral: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx Calcular a integral impropria à esquerda da equação. Encontrar a primitiva d...

Para calcular a integral ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx, podemos utilizar a substituição u = ln(x). Então, temos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = ∫+∞ln(5)[e^u * u^(-2)]du Para calcular a primitiva da integral, podemos utilizar a integração por partes, com u = u^(-1) e dv = e^u * u^(-2)du. Então, temos: ∫e^u * u^(-2)du = -u^(-1)e^u + ∫u^(-2)e^udu Aplicando a integração por partes novamente, com u = u^(-2) e dv = e^udu, temos: ∫u^(-2)e^udu = -u^(-2)e^u + 2∫u^(-3)e^udu Podemos continuar aplicando a integração por partes até chegarmos a uma expressão que possamos integrar facilmente. No final, teremos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = [-ln(x)^(-1)e^ln(x)]+∞5 + ∫+∞ln(5)2u^(-3)e^udu Substituindo u = ln(x) novamente, temos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = [-ln(ln(x))^(-1)x]5+∞ + ∫ln(5)2ln(x)^(-3)dx Para calcular a integral impropria utilizando o limite, podemos calcular a integral definida de 1 até t e depois tomar o limite quando t tende a infinito. Então, temos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = lim(t→∞) [-ln(ln(t))^(-1)t + ln(ln(5))^(-1)5 + 2∫1tln(x)^(-3)dx] Para calcular a integral ∫1tln(x)^(-3)dx, podemos utilizar a substituição u = ln(x). Então, temos: ∫1tln(x)^(-3)dx = ∫ln(1)ln(t)^(-3)e^udu = [-u^(-2)e^u]ln(1)ln(t) = -ln(t)^(-2) Substituindo na expressão anterior, temos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = lim(t→∞) [-ln(ln(t))^(-1)t + ln(ln(5))^(-1)5 + 2(-ln(t)^(-2) + ln(1)^(-2))] Simplificando, temos: ∫+∞5[x^(-1) * [ln(x)]^(-2)]dx = ln(5)^(-1)