Problema 4 (10 puntos) Resuelva completamente el siguiente SEL, sistema de ecuaciones lineales, (es decir, indique las condiciones sobre a para que...

Problema 4 (10 puntos)
Resuelva completamente el siguiente SEL, sistema de ecuaciones lineales, (es decir, indique las condiciones sobre a para que (i) el SEL tenga solución única, (ii) tenga infinitas soluciones y (iii) no tenga soluciones):
x1 + 2x2 − 3x3 = 4 (1)
3x1 − x2 + 5x3 = 2 (2)
4x1 + x2 + (a2 − 14)x3 = a+ 2 (3)
Respuesta.
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es
[1 2 -3 | 4
3 -1 5 | 2
4 1 (a2 - 14) | a + 2]
Se tiene entonces que:
[1 2 -3 | 4
0 -7 14 | -10
0 0 (a2 - 16) | a - 4]
por lo que el SEL inicial es equivalente al siguiente
x1 + 2x2 - 3x3 = 4 (4)
-7x2 + 14x3 = -10 (5)
(a2 - 16)x3 = a - 4 (6)
De esta manera,
(i) el SEL tiene solución única cuando a ≠ 4 ∧ a ≠ −4,
(ii) el SEL no tiene solución cuando a = −4,
(iii) el SEL tiene infinitas soluciones cuando a = 4.