Questão resolvida - Dada a equação diferencial dy_dx=-x_y, encontre a solução para o problema de valor inicial (PVI) y(4)=-3 - Equação diferencial - Problema de valor inicial (PVI) - cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a equação diferencial , encontre a solução para o problema de valor = -
dy
dx
x
y
inicial (PVI) .y 4 = - 3( )
 
Resolução:
 
É preciso fazer a sepação de variáveis, com os termos com y e dy no primeiro membro e os 
termos com x e dx no segundo, com visto posteriormente;
 
= - ydy = -xdx
dy
dx
x
y
→
 
Para encontrar a solução vamos integrar os 2 membros da igualdade:
 
ydy = - xdx∫ ∫
 
Resolvendo as integrais separadamente;
1 ydy = + c)∫ y
2
2
1
 
2 - xdx = - xdx = - + c)∫ ∫ x
2
2
2
Voltando para a EDO;
 
ydy = - xdx + c = - + c + c + - c = 0∫ ∫ → y
2
2
1
x
2
2
2 →
y
2
2
1
x
2
2
2
 
= 0 y + x + 2 c - c = 0 y + x = - 2 c - c→
y + x + 2 c - c
2
2 2 ( 1 2)
→
2 2 ( 1 2) →
2 2 ( 1 2)
 
Fazendo ÷ 2 c - c = c, fica;( 1 2)
 
y + x = c2 2
 
Pelo PVI, y 4 = - 3, temos que quando x = 4; y = - 3, substituindo na relação anterior;( )
 
 
 
-3 + 4 = c 9 + 16 = c 25 = c c = 25( )2 ( )2 → → →
 
 
y + x = 252 2
 
 
(Resposta )