Problema 6 (10 puntos) Sea W = {(x, y, z) ∈ R3/2x− y + z = 0}. Demuestre que W es un subespacio vectorial de R3 Respuesta. En efecto (0, 0, 0) ∈ R3...

Para demostrar que W é um subespaço vetorial de R3, precisamos verificar se ele atende às três condições abaixo: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) pertence a W. 2. W é fechado sob a adição de vetores. 3. W é fechado sob a multiplicação por um escalar. A resposta já mostrou que o vetor nulo pertence a W, então vamos verificar as outras duas condições: 2. Sejam X = (x1, x2, x3) e Z = (z1, z2, z3) vetores quaisquer em W. Então, temos: 2x1 - x2 + x3 = 0 (porque X pertence a W) 2z1 - z2 + z3 = 0 (porque Z pertence a W) Somando essas duas equações, obtemos: 2(x1 + z1) - (x2 + z2) + (x3 + z3) = 0 Portanto, o vetor (x1 + z1, x2 + z2, x3 + z3) também pertence a W, o que significa que W é fechado sob a adição de vetores. 3. Seja X = (x1, x2, x3) um vetor em W e α um escalar qualquer. Então, temos: 2x1 - x2 + x3 = 0 (porque X pertence a W) Multiplicando essa equação por α, obtemos: 2αx1 - αx2 + αx3 = 0 Portanto, o vetor (αx1, αx2, αx3) também pertence a W, o que significa que W é fechado sob a multiplicação por um escalar. Como W atende às três condições, concluímos que W é um subespaço vetorial de R3.