Questão resolvida - Encontre o valor médio de F(x,y,z)xyz sobre a região cubica D delimitada pelos planos x2,y2 e z2 no primeiro octante - cálculo II - ESTÁCIO

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Encontre o valor médio de sobre a região cubica delimitada pelos planos F x, y, z = xyz( ) D
 no primeiro octante.x = 2, y = 2 e z = 2
 
 □ 8
 □ 4
 ⬛ 1
 □ 6
 □ 4, 2
 
Resolução:
 
O valor médio de uma superfície sobre uma região é dado por;
 
=F⏨
F x, y, z dV
V
∫∫
Q
∫ ( )
 A região cúbica se encontra no 1° octante, tendo as arestas do cúbo 2 unidades, assim, 
esse volume é dado por;
 
V = ℓ = 2 V = 8 u. v.cubo
3 ( )3 → cubo
 
A integral tripla de deve ser feita sobre a região, com isso, os limites de integração F x, y, z( )
vai de a nos 3 eixos;0 2
 
F x, y, z dV = xyzdxdydz∫∫
Q
∫ ( )
2
0
∫
2
0
∫
2
0
∫
 
Resolvendo a integral tripla;
 
xyzdxdydz = yzdydz = yzdydz
2
0
∫
2
0
∫
2
0
∫
2
0
∫
2
0
∫ x
2
2 2
0
2
0
∫
2
0
∫ 2 - 0
2
2 2
 
 
 
(1)
= yzdydz = 2yzdydz = 2 dz = 2 zdz
2
0
∫
2
0
∫ 4
2
2
0
∫
2
0
∫ y
2
2 2
0
2
0
∫ 2 - 0
2
2 2
 
= 2 zdz = 2 ⋅ 2zdz = 4zdz = 4 = 4 = 4 ⋅ = 4 ⋅ 2
2
0
∫ 4
2
2
0
∫
2
0
∫ x
2
2 2
0
2
2
( )2 4
2
 
xyzdxdydz = 8
2
0
∫
2
0
∫
2
0
∫
 
Conhecidos os valores do volume da região e integral tripla sobre a região, substituimos em 
1 e obtemos o valor médio desejado;
 
= = =F⏨
F x, y, z dV
V
∫∫
Q
∫ ( ) xyzdxdydz
ℓ
2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
∫
3
8
8
 
= 1F⏨
 
 
(Resposta )