Muestre que Im(A) = R y que si X = [x1 x2] ∈ Ker(A) entonces x1 = −αx2. Con esto último, explique por qué Ker(A) es el subespacio vectorial gener...

Para mostrar que Im(A) = R, precisamos demonstrar que todo número real pertence ao conjunto imagem de A. Isso significa que para qualquer número real y, deve existir um vetor x tal que A*x = y. Para mostrar que se X = [x1 x2] ∈ Ker(A), então x1 = -αx2, precisamos verificar que o vetor X pertence ao núcleo de A e que a relação x1 = -αx2 é satisfeita. O núcleo de A (Ker(A)) é o conjunto de vetores x para os quais A*x = 0. Portanto, se X = [x1 x2] ∈ Ker(A), temos que A*X = 0. Isso implica que: A*X = [a11 a12] * [x1] = [0] [a21 a22] [x2] Multiplicando a matriz A pelo vetor X, obtemos: a11*x1 + a12*x2 = 0 a21*x1 + a22*x2 = 0 A partir da segunda equação, podemos isolar x1: x1 = -a22/a21 * x2 Comparando com a relação x1 = -αx2, podemos concluir que α = a22/a21. Com isso, podemos explicar por que Ker(A) é o subespaço vetorial gerado pelo vetor [-α 1] ∈ R2. O vetor [-α 1] é um vetor no núcleo de A, e a relação x1 = -αx2 mostra que todos os vetores no núcleo de A podem ser expressos como múltiplos desse vetor. Portanto, Ker(A) é gerado pelo vetor [-α 1].