Problema 1: sumatorias 1. Para cierto “proyecto”, en el periodo t = 0 se hace una inversión I > 0. Luego, en cada periodo t = 1, 2, . . . , n esa ...

Para entender por que FC = 1 - 1/(1+r)^n * r * π - I, podemos analisar a fórmula do fluxo de caixa do projeto FC = [ n∑ t=1 π (1 + r)^t ] - I. Primeiro, vamos considerar a soma dos benefícios π em cada período t. Essa soma é representada por n∑ t=1 π (1 + r)^t. Aqui, estamos somando os benefícios π em cada período t, considerando também o fator de crescimento (1 + r)^t, que leva em conta a taxa de juros r entre os períodos. Em seguida, subtraímos o investimento inicial I do fluxo de caixa. Portanto, temos FC = [ n∑ t=1 π (1 + r)^t ] - I. Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever a soma dos benefícios π em cada período t como uma soma de uma progressão geométrica. A fórmula para a soma de uma progressão geométrica é dada por S = a(1 - r^n)/(1 - r), onde a é o primeiro termo, r é a razão e n é o número de termos. No nosso caso, o primeiro termo é π, a razão é (1 + r) e o número de termos é n. Portanto, podemos reescrever a soma dos benefícios π em cada período t como π * (1 - (1 + r)^n)/(1 - (1 + r)). Simplificando essa expressão, temos π * (1 - (1 + r)^n)/(-r). Agora, substituímos essa expressão na fórmula do fluxo de caixa FC = [ n∑ t=1 π (1 + r)^t ] - I, ficando FC = π * (1 - (1 + r)^n)/(-r) - I. Multiplicando ambos os lados da equação por -r, temos -r * FC = π * (1 - (1 + r)^n) + r * I. Agora, vamos isolar o FC, dividindo ambos os lados da equação por -r, ficando FC = 1 - (1 + r)^n + (r * I)/(-r). Simplificando a expressão, temos FC = 1 - (1 + r)^n - I. Finalmente, podemos multiplicar o termo (r * I)/(-r) por -1/-1, o que resulta em I, ficando FC = 1 - (1 + r)^n - I. Portanto, temos FC = 1 - 1/(1+r)^n * r * π - I. Espero que isso esclareça a explicação do porquê temos essa expressão para o fluxo de caixa do projeto. Se tiver mais dúvidas, estou aqui para ajudar!