Ejercicio 9. Afianzar la comprensión. Resolver las siguientes cuestiones en cada caso. a) Sean A y B eventos cuyas probabilidades son P(A)=x, P(B)=...

a) Vamos expressar as probabilidades em termos de x, y e z: - P(A∪B): A união de A e B é representada por A∪B. A probabilidade de A∪B é dada por P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Portanto, P(A∪B) = x + y - z. - P(Ac∪Bc): A união dos complementos de A e B é representada por Ac∪Bc. A probabilidade de Ac∪Bc é dada por P(Ac∪Bc) = 1 - P(A∩B). Portanto, P(Ac∪Bc) = 1 - z. - P(Ac∩B): A interseção do complemento de A com B é representada por Ac∩B. A probabilidade de Ac∩B é dada por P(Ac∩B) = P(B) - P(A∩B). Portanto, P(Ac∩B) = y - z. - P(Ac∪B): A união do complemento de A com B é representada por Ac∪B. A probabilidade de Ac∪B é dada por P(Ac∪B) = P(Ac) + P(B) - P(A∩B). Como P(Ac) = 1 - P(A), temos P(Ac∪B) = 1 - x + y - z. - P(Ac∩Bc): A interseção dos complementos de A e B é representada por Ac∩Bc. A probabilidade de Ac∩Bc é dada por P(Ac∩Bc) = 1 - P(A∪B). Portanto, P(Ac∩Bc) = 1 - (x + y - z). b) Vamos calcular as probabilidades: - P(A∪B): A união de A e B é representada por A∪B. A probabilidade de A∪B é dada por P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Portanto, P(A∪B) = 0.7 + 0.4 - 0.3 = 0.8. - P[(A∪B∪C)c]: O complemento da união de A, B e C é representado por (A∪B∪C)c. A probabilidade de (A∪B∪C)c é dada por P[(A∪B∪C)c] = 1 - P(A∪B∪C). Como P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C), temos P[(A∪B∪C)c] = 1 - (0.7 + 0.4 + 0.4 - 0.3 - 0.25 - 0.15 + 0.1) = 0.2. - P(Ac∩B∩Cc): A interseção dos complementos de A, B e C é representada por Ac∩B∩Cc. A probabilidade de Ac∩B∩Cc é dada por P(Ac∩B∩Cc) = 1 - P(A∪B∪C). Portanto, P(Ac∩B∩Cc) = 1 - (0.7 + 0.4 + 0.4 - 0.3 - 0.25 - 0.15 + 0.1) = 0.2. - P[Ac∩(B∪C)]: A interseção do complemento de A com a união de B e C é representada por Ac∩(B∪C). A probabilidade de Ac∩(B∪C) é dada por P[Ac∩(B∪C)] = P(Ac) + P(B∪C) - P(A∩B∩C). Como P(B∪C) = P(B) + P(C) - P(B∩C), temos P[Ac∩(B∪C)] = 1 - 0.4 + 0.4 - 0.15 = 0.85. c) Vamos calcular a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra: - Pelo princípio da inclusão-exclusão, temos P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C). Substituindo os valores, temos P(A∪B∪C) = 1/4 + 1/4 + 1/4 - 0 - 1/8 - 0 + 0 = 3/4. - Portanto, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A, B ou C ocorra é de 3/4.