Capítulo 4 Aplicación de la derivada La derivada se puede aplicar de varias maneras, para entender cómo y en dónde se debe partir de los conceptos:...

Capítulo 4
Aplicación de la derivada
La derivada se puede aplicar de varias maneras, para entender cómo y en dónde se debe partir de los conceptos: geométrico, matemáti- co y físico de derivada. En cuanto al concepto geométrico decíamos que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto de la función; la definición matemática nos indica que la derivada es la razón de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable indepen- diente y el concepto físico nos dice que la derivada es la velocidad con la que cambia una variable con respecto a otra por ejemplo si tenemos una función que representa al desplazamiento de un cuerpo en el tiempo, su derivada representa la velocidad de ese objeto en cualquier instante de tiempo t.
4.1 Recta tangente y recta normal
De lo aprendido en la unidad de Geometría Analítica, se necesi- tan dos datos para encontrar la ecuación de una recta estas condiciones pueden ser o dos puntos o el punto y la pendiente de dicha recta.
4.1.1 Recta tangente
Para el primer caso necesitamos encontrar la ecuación de la rec- ta tangente que es aquella que toca a la curva únicamente en el punto dado. Dado que la derivada nos permite obtener la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva. La ecuación de la recta en don- de las variables son x y y con el punto P(x1,y1) y la pendiente m Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
322
Viene dado por:
y-y1 = m(x-x1)
El valor de x1 corresponderá al valor en el eje de las abscisas x en donde se quiere encontrar la recta tangente y el valor de y1 es el valor de evaluación de la función en el punto x1; es decir y1 = f(x1)
4.1.2 Recta normal
La ecuación de la recta normal se obtiene fácilmente al considerar que pasa exactamente por el mismo punto P(x1, y1) y es perpendicular a la recta tangente.
Así la condición de perpendicularidad exige de acuerdo a lo aprendido en la Unidad 1 que la pendiente de la recta normal y la pen- diente de la recta tangente cumplan mnmt = -1 (condición para que dos rectas sean perpendiculares) de donde:
mn recta normal
mt recta tangente
EjErcicios rEsuEltos
ER 1. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) = 3x2+2x-1 en el punto cuando x=2
solución
Observando la función podemos darnos cuenta de que es una pa- rábola horizontal. Necesitamos encontrar el valor de y de la coordenada del punto cuando x=1 para eso evaluamos dicho valor en la función f(x) y tenemos f(1) = 3(1)2+2(1) -1 = 4 , es decir el punto es P(1;4). Ahora necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
323
este punto, para ello trabajamos con la derivada de la función dada y reemplazamos en ella el valor de x=1 .La derivada de la función es f ‘ (x) = 6x + 2, si evaluamos el valor de x del punto tenemos f ‘ (x) = 6(1)+2 = 8 que representa la pendiente m=8.
Con los datos del punto y la pendiente reemplazamos en la fór- mula de la ecuación de la recta.
y - y1 = m(x - x1)
y – 4 = 8(x-1)
y = 4 +8x -8
y = 8x -4 → recta tangente
La recta normal pasa por este mismo punto y es perpendicular a la recta tangente es decir: mnmt = -1, como ya tenemos la pendiente de la recta tangente despejamos la pendiente normal y tenemos mn = -1/mt, reemplazando datos nos queda: mn=-1/8 = -1/8
Aplicando nuevamente la fórmula de la recta tenemos:
y – y1 = m(x -x1)
y -4 = -1/8(x-1)
y = 4 -x/8 +1/8
y = -x/8 +33/8 → recta tangente