Dada la función f(x) = 2x3 - 6x definida sobre el intervalo cerrado [-2,2] ¿existe un número c en el intervalo abierto (-2,2) que cumple la conclus...

Para verificar si existe un número c en el intervalo abierto (-2,2) que cumple la conclusión del teorema del valor medio, debemos comprobar si se cumplen las condiciones del teorema. El teorema del valor medio establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a). En este caso, la función f(x) = 2x^3 - 6x es continua en el intervalo cerrado [-2, 2] y diferenciable en el intervalo abierto (-2, 2). Para verificar si se cumple la conclusión del teorema del valor medio, debemos encontrar los valores de f(a), f(b) y f'(c). Calculando f(-2): f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) = -16 + 12 = -4 Calculando f(2): f(2) = 2(2)^3 - 6(2) = 16 - 12 = 4 Calculando f'(x): f'(x) = 6x^2 - 6 Ahora, necesitamos encontrar un número c en el intervalo abierto (-2, 2) tal que f'(c) = (f(2) - f(-2))/(2 - (-2)). Calculando (f(2) - f(-2))/(2 - (-2)): (4 - (-4))/(2 - (-2)) = 8/4 = 2 Para encontrar un número c que cumpla esta igualdad, podemos resolver la ecuación f'(c) = 2. Resolviendo f'(c) = 2: 6c^2 - 6 = 2 6c^2 = 8 c^2 = 8/6 c^2 = 4/3 c = ±√(4/3) Por lo tanto, existen dos números c en el intervalo abierto (-2, 2) que cumplen la conclusión del teorema del valor medio.