Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos Por (1), la igualdad anterior equivale al sistema:{ xx′ + 3yy′ = 1 yx′ + xy′ = 0. (2) El determinante de la matriz d...

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
Por (1), la igualdad anterior equivale al sistema:{
xx′ + 3yy′ = 1
yx′ + xy′ = 0.
(2)
El determinante de la matriz del sistema anterior en las incógnitas x′ e y′ es
x2− 3y2. No puede ser x2− 3y2 = 0, pues si y = 0, entonces x = 0 (absurdo
pues x+ y
√
3 es no nulo), y si y 6= 0, entonces
√
3 = x/y (absurdo pues
√
3
no es racional).
Por la regla de Cramer, el sistema (2) tiene solución, luego x + y
√
3 tiene
inverso. Hemos demostrado que K es cuerpo.
3. Sea {Ki} una familia de subcuerpos de K y H =
⋂
iKi. Se verifica 0 ∈ Ki
para todo i, luego 0 ∈ H 6= ∅. Si x, y ∈ H, entonces x ∈ Ki, y ∈ Ki para
todo i y por ser Ki subgrupo aditivo de K para todo i, también x− y ∈ Ki
para todo i, en consecuencia x− y ∈ H. Por tanto H es subgrupo aditivo de
K (además conmutativo por serlo K).
Veamos ahora queH∗ = H−{0} es subgrupo multiplicativo de K∗ = K−{0}.
Se verifica 1 ∈ Ki para todo i, luego 1 ∈ H∗ 6= ∅. Si x, y ∈ H∗, entonces
x, y ∈ Ki − {0}, para todo i y por ser Ki − {0} subgrupo multiplicativo de
K∗ para todo i, también xy−1 ∈ Ki para todo i, en consecuencia xy−1 ∈ H∗.
Por tanto H∗ es subgrupo aditivo de K∗ (además conmutativo por serlo K∗).
4. Si K es cuerpo, es anillo conmutativo y unitario, por tanto basta demostrar
que no existen divisores de cero. Sea a ∈ K con a 6= 0 y supongamos que
existe b ∈ K tal que ab = 0. Tenemos:
ab = 0⇒ a−1(ab) = a−10⇒ (a−1a)b = 0⇒ 1b = 0⇒ b = 0,
es decir no existen divisores de cero, luego K es dominio de integridad.
5. Sea I ⊂ K un ideal de K. Si I = {0}, ya está demostrado. Si I 6= {0},
existe x ∈ I con x 6= 0. Entonces, todo a ∈ K se puede expresar en la forma:
a = 1a = x−1xa = (x−1a)x.
Como I es ideal, a ∈ I, y por tanto K ⊂ I. Esto, junto con I ⊂ K demuestra
que I = K.
6. Efectivamente, si x es solución de la ecuación ax = b, entonces:
ax = b⇒ a−1ax = a−1b⇒ 1x = a−1b⇒ x = a−1b,
es decir la única posible solución es x = a−1b. Pero este elemento de K es
efectivamente solución de la ecuación, pues a(a−1b) = aa−1b = 1b = b.