Cálculo Avançado-N Comp E Equações Diferenciais(EMC 101)-Gabar Unid 1Tóp 1

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Gabarito Detalhado 
Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais 
Unidade 1 
Tópico 1 – Números Complexos 
 
Questão 1: Determine as raízes da função 𝑓𝑓:ℂ → ℂ definida por 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5. 
Resolução: Para determinar as raízes igualamos a função 𝑓𝑓 a zero 
𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5 = 0. 
 Para encontra as raízes as raízes da equação podemos utilizar Bhaskara, note que 
𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 4 e 𝑐𝑐 = 5, logo 
Δ = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 = 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4. 
 Neste caso teremos que calcular a raiz quadrada de −4 e para isso fazemos uso 
dos números complexos 
√−4 = �4 ⋅ (−1) = √4 ⋅ √−1 = 2𝑖𝑖. 
 Portanto as raízes da equação são −2 + 𝑖𝑖 e −2 − 𝑖𝑖, pois 
𝑥𝑥 =
−𝑏𝑏 ± √Δ
2𝑎𝑎
=
−4 ± √−4
2 ⋅ 1
=
−4 ± 2𝑖𝑖
2
= −2 ± 𝑖𝑖. 
 
Questão 2: A forma algébrica do número complexo 
𝑧𝑧 = 3�cos �
7𝜋𝜋
6 � + 𝑖𝑖 sen �
7𝜋𝜋
6 �� 
é? 
Resolução: A forma algébrica é 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖, precisamos determinar os valores para 𝑎𝑎 e 
𝑏𝑏. Sabemos que 
cos �
7𝜋𝜋
6 � = −
√3
2
 
e 
sen �
7𝜋𝜋
6 � = −
1
2
. 
 Logo 
𝑧𝑧 = 3�−
√3
2
+ +𝑖𝑖 �−
1
2��
= −
3√3
2
−
3
2
𝑖𝑖. 
 
Questão 3: O inverso do número complexo 𝑧𝑧 = 2 + 𝑖𝑖 é? 
Resolução: O inverso de um número complexo é 
𝑧𝑧−1 =
1
𝑧𝑧
=
1
2 + 𝑖𝑖
. 
 Agora, precisamos fazer a divisão, para isso multiplicamos pelo conjugado de 2 +
𝑖𝑖 (2 + 𝚤𝚤������ = 2 − 𝑖𝑖) 
𝑧𝑧−1 =
1
2 + 𝑖𝑖
⋅
2 − 𝑖𝑖
2 − 𝑖𝑖
=
1 ⋅ (2 − 𝑖𝑖)
(2 + 𝑖𝑖)(2 − 𝑖𝑖)
. 
 Usando o produto notável (2 + 𝑖𝑖)(2 − 𝑖𝑖) = 4 − 𝑖𝑖2 e como 𝑖𝑖2 = −1 temos que 
𝑧𝑧−1 =
2 − 𝑖𝑖
4 + 1
=
2 − 𝑖𝑖
5
=
2
5
−
1
5
𝑖𝑖. 
 
Questão 4: Determine o número complexo 𝑧𝑧 tal que 𝑧𝑧̅ = 3 𝑖𝑖97 + 2𝑖𝑖75 + 9𝑖𝑖18. 
Resolução: Primeiro reescrevemos as potências como divisão de 4 
97 = 4 ⋅ 24 + 1 𝑖𝑖97 = 𝑖𝑖4⋅24+1 = 𝑖𝑖4⋅24 ⋅ 𝑖𝑖1 = (𝑖𝑖4)24 ⋅ 𝑖𝑖 = 124 ⋅ 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 
75 = 4 ⋅ 18 + 3 𝑖𝑖75 = 𝑖𝑖4⋅18+3 = 𝑖𝑖4⋅18 ⋅ 𝑖𝑖3 = (𝑖𝑖4)18 ⋅ (−𝑖𝑖) = 118 ⋅ (−𝑖𝑖) = −𝑖𝑖 
18 = 4 ⋅ 4 + 2 𝑖𝑖18 = 𝑖𝑖4⋅4+2 = 𝑖𝑖4⋅4 ⋅ 𝑖𝑖2 = (𝑖𝑖4)4 ⋅ (−1) = 14 ⋅ (−1) = −1 
 Agora substituímos na equação 
𝑧𝑧̅ = 3 𝑖𝑖97 + 2𝑖𝑖75 + 9𝑖𝑖18 = 3 ⋅ 𝑖𝑖 + 2 ⋅ (−𝑖𝑖) + 9 ⋅ (−1) = 3𝑖𝑖 − 2𝑖𝑖 − 9 = −9 + 𝑖𝑖. 
 Note que o enunciado do problema pede para encontrarmos o valor de 𝑧𝑧, se o 
conjugado de 𝑧𝑧 é −9 + 𝑖𝑖 então 
𝑧𝑧 = −9 − 𝑖𝑖. 
 
Questão 5: A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo 
1 − 𝑖𝑖
(1 + 𝑖𝑖)2
 
tem argumento (em graus e radianos) igual a? 
Resolução: Antes de determinar a forma trigonométrica, vamos determinar a sua forma 
mais simplificada 
1 − 𝑖𝑖
(1 + 𝑖𝑖)2
=
1 − 𝑖𝑖
1 + 2𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
=
1 − 𝑖𝑖
1 + 2𝑖𝑖 − 1
=
1 − 𝑖𝑖
2𝑖𝑖
. 
Para resolver a divisão multiplicamos o denominado e numerador por 𝑖𝑖 (também pode 
ser −𝑖𝑖) 
1 − 𝑖𝑖
(1 + 𝑖𝑖)2
=
1 − 𝑖𝑖
2𝑖𝑖
⋅
𝑖𝑖
𝑖𝑖
=
𝑖𝑖 − 𝑖𝑖2
2𝑖𝑖2
=
𝑖𝑖 − (−1)
2(−1) =
𝑖𝑖 + 1
−2
= −
1
2
−
1
2
𝑖𝑖. 
 Agora para determinar o argumento precisamos analisar as igualdades 
cos(𝜃𝜃) = −
1
2𝜌𝜌
 sen(𝜃𝜃) = −
1
2𝜌𝜌
. 
Note que 
𝜌𝜌 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = ��−
1
2�
2
+ �−
1
2�
2
= �1
4
+
1
4
= �1
2
=
1
√2
. 
Assim, 
cos(𝜃𝜃) = −
1
2 ⋅ 1
√2
= −
√2
2
 sen(𝜃𝜃) = −
1
2 ⋅ 1
√2
= −
√2
2
. 
Sabemos que para dar valor o √2
2
 no cosseno e seno o ângulo precisa ser 45° =
𝜋𝜋
4
, 135° = 3𝜋𝜋
4
, 225° = 5𝜋𝜋
4
 ou 315° = 7𝜋𝜋
4
, precisamos só determinar o sinal, como os dois 
são negativos o ângulo deve estar no terceiro quadrante, portanto, 
𝜃𝜃 = 225° =
5𝜋𝜋
4
. 
 
Questão 6: Se 𝑚𝑚�cos(𝜃𝜃) + 𝑖𝑖 sen(𝜃𝜃)� = 1 + 𝑖𝑖 e 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 2𝜋𝜋 então os valores 
respectivos de 𝑚𝑚 e 𝜃𝜃 (em radianos) são? 
Resolução: Dois números complexos são iguais se sua parte real e imaginária são iguais, 
assim 
𝑚𝑚�cos(𝜃𝜃) + 𝑖𝑖 sen(𝜃𝜃)� = 1 + 𝑖𝑖 
𝑚𝑚 cos(𝜃𝜃) = 1 𝑚𝑚 sen(𝜃𝜃) = 1 
cos(𝜃𝜃) =
1
𝑚𝑚
 sen(𝜃𝜃) =
1
𝑚𝑚
. 
 Agora, por definição 
𝑚𝑚 = �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = �12 + 12 = √2. 
E assim, 
cos(𝜃𝜃) =
1
√2
=
√2
2
 sen(𝜃𝜃) =
1
√2
=
√2
2
. 
 Fazendo a mesma análise da questão anterior concluirmos que 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋
4
. 
 
Questão 7: Calcule o número complexo 𝑖𝑖126 + 𝑖𝑖−126 + 𝑖𝑖36 − 𝑖𝑖180. 
Resolução: Primeiro reescrevemos as potências como divisão de 4 
126 = 4 ⋅ 31 + 2 𝑖𝑖126 = 𝑖𝑖4⋅31+2 = (𝑖𝑖4)31 ⋅ 𝑖𝑖2 = 131 ⋅ (−1) = −1 
−126 = 4 ⋅ (−32) + 2 𝑖𝑖−126 = 𝑖𝑖4⋅(−32)+2 = (𝑖𝑖4)−32 ⋅ 𝑖𝑖2 = 118 ⋅ (−1) = −1 
31 = 4 ⋅ 7 + 3 𝑖𝑖31 = 𝑖𝑖4⋅7+3 = (𝑖𝑖4)7 ⋅ 𝑖𝑖3 = 17 ⋅ (−𝑖𝑖) = −𝑖𝑖 
180 = 4 ⋅ 54 𝑖𝑖180 = 𝑖𝑖4⋅45 = (𝑖𝑖4)45 = 145 = 1 
 Agora substituímos na equação 
𝑖𝑖126 + 𝑖𝑖−126 + 𝑖𝑖36 − 𝑖𝑖180 = −1 + (−1) + (−𝑖𝑖) − 1 = −3 − 𝑖𝑖. 
 
Questão 8: Considere 𝑧𝑧1 = −3 + 3𝑖𝑖 e 𝑧𝑧2 = 4 + 2𝑖𝑖. A representação polar de 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2� é? 
Resolução: Primeiro vamos encontrar a soma de 𝑧𝑧1 e conjugado 𝑧𝑧2 
𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2� = (−3 + 3𝑖𝑖) + (4 − 2𝑖𝑖) = −3 + 3𝑖𝑖 + 4 − 2𝑖𝑖 = 1 + 𝑖𝑖. 
 Agora para transformar em polar precisamos calcular 𝜌𝜌 e 𝜃𝜃. Sabemos que o 
𝜌𝜌 = �12 + 12 = √2 
e para determinar 𝜃𝜃 precisamos analisar 
cos(𝜃𝜃) =
1
√2
=
√2
2
 sen(𝜃𝜃) =
1
√2
=
√2
2
 𝜃𝜃 =
𝜋𝜋
4
. 
 Portanto a forma trigonométrica é 
𝑧𝑧 = √2�cos �
𝜋𝜋
4
� + 𝑖𝑖 sen �
𝜋𝜋
4
��. 
 
Questão 9: A forma algébrica do número complexo 
𝑧𝑧 = √2�cos �
7𝜋𝜋
6 � + 𝑖𝑖 sen �
7𝜋𝜋
6 �� 
é? 
Resolução: A forma algébrica é 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖, precisamos determinar os valores para 𝑎𝑎 e 
𝑏𝑏. Sabemos que 
cos �
7𝜋𝜋
6 � = −
√3
2
 
e 
sen �
7𝜋𝜋
6 � = −
1
2
. 
 Logo 
𝑧𝑧 = √2�−
√3
2
+ 𝑖𝑖 �−
1
2��
= −
√6
2
−
√2
2
𝑖𝑖. 
 
Questão 10: Da questão 2, determine o número complexo 𝑧𝑧 na forma trigonométrica 
𝑧𝑧20. 
Resolução: O número complexo 𝑧𝑧 é 
𝑧𝑧 = 3�cos �
7𝜋𝜋
6 � + 𝑖𝑖 sen �
7𝜋𝜋
6 ��. 
 Utilizando as propriedades de multiplicação de números complexos na forma 
trigonométrica temos que 
𝑧𝑧20 = 320 �cos �20 ⋅
7𝜋𝜋
6 � + 𝑖𝑖 sen �20 ⋅
7𝜋𝜋
6 ��. 
 Observe que 
20 ⋅
7𝜋𝜋
6
=
140𝜋𝜋
6
=
136𝜋𝜋 + 4𝜋𝜋
6
= 22𝜋𝜋 +
4𝜋𝜋
6
, 
ou seja, 20 ⋅ 7𝜋𝜋
6
 é equivalente a 4𝜋𝜋
6
. 
 Concluímos então que 
𝑧𝑧20 = 320 �cos �
4𝜋𝜋
6 � + 𝑖𝑖 sen �
4𝜋𝜋
6 ��. 
OBS: Uma outra maneira de resolver é utilizar a forma algébrica e calcular a potência aí 
então transformar para a forma trigonométrica. 
 
Questão 11: Determine a raiz cúbica do número complexo 
𝑧𝑧 = 27 �cos �
3𝜋𝜋
4 � + 𝑖𝑖 sen �
3𝜋𝜋
4 ��. 
Resolução: Utilizando as propriedades de raízes de números complexos na forma 
trigonométrica temos que 
√𝑧𝑧3 = √273 �cos�
3𝜋𝜋
4 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋
3 � + 𝑖𝑖 sen�
3𝜋𝜋
4 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋
3 �� 
com 𝜋𝜋 igual a 0, 1 e 2. 
 Observe que 
3𝜋𝜋
4 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋
3
=
3𝜋𝜋 + 8𝜋𝜋𝜋𝜋
4
3
=
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
 
logo 
√𝑧𝑧3 = 3�cos�
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
� + 𝑖𝑖 sen�
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
�� 
com 𝜋𝜋 igual a 0, 1 e 2. 
 Ou seja, a raiz cúbica de 𝑧𝑧 tem 3 respostas: 
• Quando 𝜋𝜋 = 0, temos 
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
=
(3 + 8 ⋅ 0)𝜋𝜋
12
=
3𝜋𝜋
12
=
𝜋𝜋
4
 
e assim 
√𝑧𝑧3 = 3�cos �
𝜋𝜋
4
� + 𝑖𝑖 sen �
𝜋𝜋
4
��. 
• Quando 𝜋𝜋 = 1, temos 
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
=
(3 + 8 ⋅ 1)𝜋𝜋
12
=
11𝜋𝜋
12
 
e assim 
√𝑧𝑧3 = 3�cos �
11𝜋𝜋
12 � + 𝑖𝑖 sen �
11𝜋𝜋
12 ��. 
• Quando 𝜋𝜋 = 2, temos 
(3 + 8𝜋𝜋)𝜋𝜋
12
=
(3 + 8 ⋅ 2)𝜋𝜋
12
=
19𝜋𝜋
12
 
e assim 
√𝑧𝑧3 = 3�cos �
19𝜋𝜋
12 � + 𝑖𝑖 sen �
19𝜋𝜋
12 ��.