EMC101 - Gabarito Detalhado - U1T2

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Gabarito Detalhado 
Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais 
Unidade 1 
Tópico 2 – Funções Elementares com Variáveis Complexas 
 
Questão 1: Calcule o valor da função 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 𝑖𝑖(𝑦𝑦2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦3) nos pontos 
dados: 
𝑎𝑎) 𝑧𝑧 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (2, 3) 
Resolução: Basta substituir 𝑥𝑥 por 2 e 𝑦𝑦 por 3 
𝑓𝑓(2 + 3𝑖𝑖) = 22 + 22 ⋅ 32 − 𝑖𝑖(32 ⋅ 2 + 33) 
= 4 + 4 ⋅ 9 − 𝑖𝑖(9 ⋅ 2 + 27) 
= 4 + 36 − 𝑖𝑖(18 + 27) 
= 40 − 45𝑖𝑖. 
 
𝑏𝑏) 𝑧𝑧 = 2 + 4𝑖𝑖 
Resolução: Basta substituir 𝑥𝑥 por 2 e 𝑦𝑦 por 4 
𝑓𝑓(2 + 4𝑖𝑖) = 22 + 22 ⋅ 42 − 𝑖𝑖(42 ⋅ 2 + 33) 
= 4 + 4 ⋅ 16 − 𝑖𝑖(16 ⋅ 2 + 64) 
= 4 + 64 − 𝑖𝑖(32 + 64) 
= 68 − 96𝑖𝑖. 
 
𝑐𝑐) 𝑧𝑧 = 5𝑖𝑖 
Resolução: Basta substituir 𝑥𝑥 por 0 e 𝑦𝑦 por 5 
𝑓𝑓(5𝑖𝑖) = 02 + 02 ⋅ 52 − 𝑖𝑖(52 ⋅ 0 + 53) 
= 0 + 0 ⋅ 25 − 𝑖𝑖(25 ⋅ 0 + 125) 
= 0 − 𝑖𝑖(125) = −125𝑖𝑖. 
 
𝑑𝑑) 𝑧𝑧 = 3 
Resolução: Basta substituir 𝑥𝑥 por 3 e 𝑦𝑦 por 0 
𝑓𝑓(3) = 32 + 32 ⋅ 02 − 𝑖𝑖(02 ⋅ 3 + 03) 
= 9 + 9 ⋅ 0 − 𝑖𝑖(0 ⋅ 3 + 0) 
= 9 − 𝑖𝑖(0) = 9. 
 
Questão 2: Determine a parte real e a parte imaginária das funções complexas: 
𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 2𝑖𝑖𝑧𝑧 + 6𝑧𝑧̅ 
Resolução: Para encontrar a parte real e imaginária precisamos trocar o número 
complexo 𝑧𝑧 pela sua forma algébrica 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦, assim 
𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 2𝑖𝑖𝑧𝑧 + 6𝑧𝑧̅ 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 2𝑖𝑖(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) + 6(𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦) 
pois, 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦. Como 𝑖𝑖2 = −1 temos 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 2𝑖𝑖𝑥𝑥 + 2𝑖𝑖2𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥 − 6𝑖𝑖𝑦𝑦 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 2𝑖𝑖𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥 − 6𝑖𝑖𝑦𝑦 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 6𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦�����
Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
+ 𝑖𝑖 (2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦)�������
Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
. 
 Portanto, temos que Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 6𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 e Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦. 
 
𝑏𝑏) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = |𝑧𝑧|2 
Resolução: Para encontrar a parte real e imaginária precisamos trocar o número 
complexo 𝑧𝑧 pela sua forma algébrica 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦, assim 
𝑓𝑓(𝑧𝑧) = |𝑧𝑧|2 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = |𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦|2 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = ��𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2�
2
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2�����
Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
. 
 Portanto, temos que Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 e Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 0. 
 
 
𝑐𝑐) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑒𝑒𝑧𝑧 + 2𝑖𝑖 
Resolução: Para encontrar a parte real e imaginária precisamos trocar o número 
complexo 𝑧𝑧 pela sua forma algébrica 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦, assim 
𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑒𝑒𝑧𝑧 + 2𝑖𝑖 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑥𝑥+𝑖𝑖𝑖𝑖 + 2𝑖𝑖 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 cos(𝑦𝑦) + 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥sen(𝑦𝑦) + 2𝑖𝑖 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑥𝑥cos (𝑦𝑦)�������
Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
+ 𝑖𝑖 (𝑒𝑒𝑥𝑥sen(𝑦𝑦) + 2)�����������
Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
. 
 Portanto, temos que Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 𝑒𝑒𝑥𝑥cos (𝑦𝑦) e Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 𝑒𝑒𝑥𝑥sen(𝑦𝑦) + 2. 
 
𝑑𝑑) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) =
𝑧𝑧
𝑧𝑧̅
 
Resolução: Para encontrar a parte real e imaginária precisamos trocar o número 
complexo 𝑧𝑧 pela sua forma algébrica 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦 e como 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦 temos que 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) =
𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦
𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) =
𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦
𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦
⋅
𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦
𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) =
𝑥𝑥2 + 𝑖𝑖𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑖𝑖𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑖𝑖2𝑦𝑦2
𝑥𝑥2 + 𝑖𝑖𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑖𝑖𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑖𝑖2𝑦𝑦2
 
sabendo que 𝑖𝑖2 = −1 temos que 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) =
𝑥𝑥2 + 2𝑖𝑖𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) =
𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2�����
Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
+ 𝑖𝑖
2𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2�����
Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)�
. 
 Portanto, temos que Re�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 𝑥𝑥
2−𝑖𝑖2
𝑥𝑥2+𝑖𝑖2
 e Im�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = 2𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑥𝑥2+𝑖𝑖2
. 
 
Questão 3: Para quais valores de 𝑧𝑧 a função racional complexa 
𝑓𝑓(𝑧𝑧) =
(𝑧𝑧 + 2 − 𝑖𝑖)2
(𝑧𝑧 − 2 + 𝑖𝑖)2
 
não está definida? 
Resolução: No caso de uma divisão de duas funções polinomiais complexas, basta 
analisarmos onde o denominador é igual a zero, ou seja, 
(𝑧𝑧 − 2 + 𝑖𝑖)2 ≠ 0 
𝑧𝑧 − 2 + 𝑖𝑖 ≠ 0 
𝑧𝑧 ≠ 2 − 𝑖𝑖. 
 Portanto a função 𝑓𝑓(𝑧𝑧) está definida em todos os números complexos exceto 
para 𝑧𝑧 = 2 − 𝑖𝑖, ou ainda 
Dom�𝑓𝑓(𝑧𝑧)� = {𝑧𝑧 ∈ ℂ: 𝑧𝑧 ≠ 2 − 𝑖𝑖}. 
 
Questão 4: Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem a igualdade: 
𝑎𝑎) Re(𝑧𝑧̅ + 1) = 4 
Resolução: Trocando 𝑧𝑧 por 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦 temos 
Re(𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑦𝑦 + 1) = 4 
assim, 𝑥𝑥 + 1 = 4, ou seja, 𝑥𝑥 = 3. E 𝑦𝑦 pode ser qualquer. Portanto a conjunto solução é 
𝑆𝑆 = {𝑧𝑧 ∈ ℂ: 𝑥𝑥 = 3 𝑒𝑒 𝑦𝑦 ∈ ℝ}. 
 
𝑏𝑏) |𝑧𝑧 + 1| − 𝑧𝑧 + 1 = 4 
Resolução: Trocando 𝑧𝑧 por 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦 temos 
|𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦 + 1| − (𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦) + 1 = 4 
�(𝑥𝑥 + 1)2 + 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 + 1 − 𝑖𝑖𝑦𝑦 = 4. 
Comparando a parte imaginária do lado esquerdo com a do direito temos 
𝑦𝑦 = 0. 
 Agora comparando a parte real do lado esquerdo com a do direito temos que 
�(𝑥𝑥 + 1)2 + 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 + 1 = 4 
substituindo 𝑦𝑦 = 0 concluímos 
�(𝑥𝑥 + 1)2 − 𝑥𝑥 + 1 = 4. 
 Uma observação importante aqui é que não podemos simplesmente cancelar a 
raiz com o quadrado, pois 𝑥𝑥 + 1 pode ser tanto negativo quanto positivo. Assim 
�(𝑥𝑥 + 1)2 = 𝑥𝑥 + 3 
(𝑥𝑥 + 1)2 = (𝑥𝑥 + 3)2 
caímos em duas situações, a primeira 
𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 + 3 
1 = 3 
o que é um absurdo. Ou a segunda situação 
𝑥𝑥 + 1 = −(𝑥𝑥 + 3) 
𝑥𝑥 + 1 = −𝑥𝑥 − 3 
2𝑥𝑥 = −4 
𝑥𝑥 = −2. 
 Concluímos assim que a única solução da equação é 𝑧𝑧 = −2. 
 
 
 
Questão 5: Prove que cosh(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = cosh(𝑥𝑥) ⋅ cosh(𝑦𝑦) + senh(𝑥𝑥) ⋅ senh(𝑦𝑦). 
Resolução: Para provar a afirmação vamos utilizar a seguinte definição para cosseno e 
seno hiperbólico 
cosh(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥
2
 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥) =
𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥
2
. 
 Assim, 
cosh(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) =
𝑒𝑒𝑥𝑥+𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥−𝑖𝑖
2
=
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
2
. 
 Como o objetivo é chegar em cossenos e senos hiperbólicos apenas de 𝑥𝑥 ou 𝑦𝑦, 
vamos somar e subtrair os dois termos 
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
4
 𝑒𝑒 
𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖
4
 
logo 
cosh(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) =
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
2
+
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
4
−
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
4
+
𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖
4
−
𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖
4
 
=
2𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 2𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖
4
 
reorganizando os termos encontramos 
=
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
4
+
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑖𝑖
4
 
=
𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖) + 𝑒𝑒−𝑥𝑥(𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖)
4
+
𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖) − 𝑒𝑒−𝑥𝑥(𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖)
4
 
=
(𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥)(𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖)
4
+
(𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥) (𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖)
4
 
= �
𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥
2 � �
𝑒𝑒𝑖𝑖 + 𝑒𝑒−𝑖𝑖
2 �
+ �
𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥
2 � �
𝑒𝑒𝑖𝑖 − 𝑒𝑒−𝑖𝑖
2 �
 
= cosh(𝑥𝑥) ⋅ cosh(𝑦𝑦) + senh(𝑥𝑥) ⋅ senh(𝑦𝑦). 
 Uma outra maneira é iniciar em cosh(𝑥𝑥) ⋅ cosh(𝑦𝑦) + senh(𝑥𝑥) ⋅ senh(𝑦𝑦) e tentar 
chegar em cosh(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦). 
 
Questão 6: Determine o valor de cada um dos itens a seguir: 
𝑎𝑎) senh(1) = 
𝑏𝑏) tanh(ln(2)) = 
𝑐𝑐) cosh(ln(3)) = 
𝑑𝑑) sech(0) = 
𝑒𝑒) cossech(ln(−5)) = 
𝑓𝑓) cotanh(ln(2)) − sech(ln(−2)) = 
Resolução: Para resolver os itens acima vamos utilizar a definição das funções 
trigonométricas hiperbólicas. 
𝑎𝑎) senh(1) =
𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒−1
2
=
𝑒𝑒 − 1𝑒𝑒
2
=
𝑒𝑒2 − 1
2𝑒𝑒
≅ 1,175. 
𝑏𝑏) tanh(ln(2)) =
𝑒𝑒ln(2) − 𝑒𝑒−ln(2)
𝑒𝑒ln(2) + 𝑒𝑒−ln(2)
=
2 − 2−1
2 + 2−1
=
2 − 12
2 + 12
=
3
2
5
2
=
3
5
. 
𝑐𝑐) cosh(ln(3)) =
𝑒𝑒ln(3) + 𝑒𝑒− ln(3)
2
=
3 + 13
2
=
10
3
2
=
10
6
=
5
3
. 
𝑑𝑑) sech(0) =
2
𝑒𝑒0 + 𝑒𝑒−0
=
2
1 + 1
= 1. 
𝑒𝑒) cossech(ln(−5)) =
2
𝑒𝑒ln(−5) − 𝑒𝑒−ln(−5)
=
2
−5 − (−5)−1
 
 =
2
−5 + 15
=
2
− 245
= −
10
24
= −
5
12
. 
𝑓𝑓) cotanh(ln(2)) − sech(ln(−2))=
𝑒𝑒ln(2) + 𝑒𝑒− ln(2)
𝑒𝑒ln(2) − 𝑒𝑒−ln(2)
−
2
𝑒𝑒ln(−2) + 𝑒𝑒− ln(−2)
 
=
2 + 12
2 − 12
−
2
−2 − 12
=
5
2
3
2
−
2
− 52
=
5
3
+
4
5
=
37
15
.