Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos 5.29. Cuerpo conmutativo con función sobre R+ Sea K un cuerpo conmutativo y f una aplicación de K en R+ (números ...

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
5.29. Cuerpo conmutativo con función sobre R+
Sea K un cuerpo conmutativo y f una aplicación de K en R+ (números
reales no negativos) tal que ∀x, y ∈ K se verifica
(a) f(x+ y) ≤ sup{f(x), f(y)}
(b) f(xy) = f(x)f(y)
(c) f(x) = 0⇔ x = 0
1. Sea u el elemento unidad de K respecto del producto. Demostrar que
f(u) = 1.
2. Sea A = f−1 ([0, 1]), demostrar que si x, y ∈ A entonces x+ y ∈ A.
3. Sea x ∈ A, demostrar que −x ∈ A (−x es el elemento simétrico de x en
K respecto de la suma). 4. Estudiar la estructura algebraica más completa
de (A,+, ·).
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).
Solución. 1. Elijamos x = y = u. Entonces, aplicando (b) :
f(uu) = f(u)f(u)⇔ f(u) = f2(u)
⇔ f(u)(1− f(u)) = 0⇔ f(u) = 0 ∨ f(u) = 1.
Ahora bien, como u 6= 0, usando (c) deducimos que f(u) = 1.
2. Si x, y ∈ A entonces f(x) ∈ [0, 1] y f(y) ∈ [0, 1]. Por la propia definición de
f se verifica f(x+y) ≥ 0 y de (a) deducimos f(x+y) ≤ sup{f(x), f(y)} ≤ 1,
es decir 0 ≤ f(x+ y) ≤ 1. En consecuencia x+ y ∈ f−1 ([0, 1]) = A.
3. Tenemos 1 = f(u) = f [(−u)(−u)] = [f(−u)]2 ⇒ f(−u) = 1. Supongamos
que x ∈ A, es decir f(x) ∈ [0, 1]. Entonces
f(−x) = f [(−u)x] = f(−u)f(x) = 1f(x) = f(x) ∈ [0, 1]⇒ −x ∈ A.
4. Veamos que A es subanillo de K.
(i) De f(0) = 0 ∈ [0, 1] se deduce que 0 ∈ A, es decir A 6= ∅.
(ii) Sean x, y ∈ A, usando los apartados 2. y 3. deducimos de forma inme-
diata que x− y ∈ A.
(iii) Sean x, y ∈ A, entonces f(x) y f(y) pertenecen al intervalo [0, 1], por
tanto f(xy) = f(x)f(y) ∈ [0, 1], es decir xy ∈ A.
Dado que el producto es conmutativo en K también lo es en A. Como f(u) =
1 ∈ [0, 1] tenemos u ∈ A y por tanto A es anillo conmutativo y unitario.
Dado que en K no hay divisores de cero, tampoco los hay en A. Concluimos