A4) Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f: G → G definida por f(x) = x⁻¹ é um homomorfismo.

Para mostrar que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função f: G → G definida por f(x) = x⁻¹ é um homomorfismo, podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que G seja um grupo abeliano, ou seja, para quaisquer elementos a e b em G, temos que ab = ba. 2. Vamos mostrar que f é um homomorfismo, ou seja, f(ab) = f(a)f(b) para quaisquer elementos a e b em G. - Seja a e b em G. Então, f(ab) = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ (pela propriedade do inverso de um produto). - Além disso, f(a)f(b) = a⁻¹b⁻¹ (pela definição de f). - Como G é abeliano, temos que ab = ba, o que implica que b⁻¹a⁻¹ = a⁻¹b⁻¹. - Portanto, f(ab) = f(a)f(b), o que mostra que f é um homomorfismo. 3. Agora, suponha que f seja um homomorfismo, ou seja, f(ab) = f(a)f(b) para quaisquer elementos a e b em G. - Vamos mostrar que G é abeliano. - Seja a e b em G. Então, ab = (ab)⁻¹⁻¹ = f(ab)⁻¹ = f(a)f(b)⁻¹ (pela definição de f). - Como f é um homomorfismo, temos que f(a)f(b)⁻¹ = f(ab)⁻¹ = (ab)⁻¹. - Portanto, ab = (ab)⁻¹, o que implica que G é abeliano. Assim, mostramos que um grupo G é abeliano se, e somente se, a função f: G → G definida por f(x) = x⁻¹ é um homomorfismo.