Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que f : G → G, f(x) := x^2 é um homomorfismo. Mostre que se |G| é impar então f é um isomorfismo.
Algebra Abstrata
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Camila Sales
25/01/2021

Question

Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que f : G → G, f(x) := x^2 é um homomorfismo. Mostre que se |G| é impar então f é um isomorfismo.

Guilherme Martins · Answer

Quaisquer dois elementos a, b em G satisfazem f(ab)=(ab)^2 = abab = a^2 b^2 = f(a)f(b), onde a penúltima equação segue do fato de G ser abeliano. Logo, f é um homomorfismo. Suponha agora que a ordem de G é ímpar. Para provar que f é injetora, sejam a, b elementos de G tais que f(a)=f(b). Isto implica (ab^{-1})^2 = 1, ou seja, o elemento c = ab^{-1} é tal que, quando elevado a dois, resulta na identidade de G, donde segue que a ordem de c é 1 ou 2. Porem, se a ordem de c fosse dois, então, pelo Teorema de Lagrange, |G| seria divisível por 2, o que contradiria nossa hipótese de que |G| é ímpar. Podemos concluir, assim, que a ordem de c é 1; mas como o único elemento em G cuja ordem é 1 é o próprio elemento de identidade de G, concluímos que c=ab^{-1}=1, donde segue que a=b, como queríamos demonstrar.Para demonstrar que f é sobrejetora, usamos uma idea similar: como a ordem de G é ímpar, temos que, para qualquer elemento b em G, a ordem de b é a mesma que a ordem de b^2. Na realidade, podemos dizer mais do que isso: o grupo cíclico gerado por b é exatamente o mesmo do que aquele gerado por b^2. Logo, existe um certo inteiro n tal que (b^2)^n=f(b^n)=b. Como b foi tomado arbitrariamente, concluímos que f é sobrejetora. Logo, é também bijetiva e, portanto, um isomorfismo, concluindo nossa demonstração.Na realidade, f é um tipo especial de isomorfismo, chamado “automorfismo”, que, como o nome sugere, é um isomorfismo entre dois grupos iguais.

Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que f : G → G, f(x) := x^2 é um homomorfismo. Mostre que se |G| é impar então f é um isomorfismo.

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