Exercício de Algebra Linear (22)

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a) Mostre que f é um homomorfismo;
b) Determine N( f ) e dê exemplo de elementos do núcleo de f .
Solução: a) Sejam X, Y ∈ G. Temos: f (XY) = det(XY) = det(X) det(Y) =
f (X) f (Y). Fica mostrado dessa forma que f é um homomorfismo de grupos.
b) Seja A um elemento genérico do núcleo de f . Então, A é uma matriz quadrada
3 × 3 tal que f (A) = det(A) = 1 = elemento neutro de J. Portanto,
N( f ) = {A ∈ GL3(�) | det(A) = 1}.
Assim, qualquer matriz 3 × 3 de elementos reais cujo determinante seja igual a 1
pertencem ao núcleo de f . Por exemplo,

1 0 0
0 1 0
0 0 1
,

2 0 0
7 3 0
5 −4 16
 e

−1 0 0
0 9 10
0 1 1

pertencem a N( f ).
A4) Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f : G −→ G definida por
f (x) = x−1 é um homomorfismo.
Solução: (⇒) Suponhamos G um grupo abeliano e sejam x, y ∈ G. Então,
f (xy) = (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 = f (x) f (y). Logo, f é um homomorfismo.
(⇐) Suponhamos que f seja um homomorfismo de G em G. Então, para quaisquer
x, y ∈ G, temos: f (xy) = f (x) f (y) ⇒ (xy)−1 = x−1y−1. Calculando-se o inverso
de cada membro da igualdade anterior, obtemos: ((xy)−1)−1 = (x−1y−1)−1 ⇒ xy =
(y−1)−1(x−1)−1⇒ xy = yx, e daı́, concluı́mos que G é um grupo abeliano.
A5) Seja G um grupo e g ∈ G. Mostre que f : G −→ G definida por f (x) = g−1xg é
isomorfismo de G em G (neste caso, f é denominado automorfismo de G).
Solução: Sejam x, y ∈ G dois elementos genéricos.
• f (xy) = g−1(xy)g = g−1xeyg = g−1x gg−1︸︷︷︸
= e
yg = f (x) f (y); logo, f é um homo-
morfismo.
• Suponhamos f (x) = f (y). Então g−1xg = g−1yg. Multiplicando-se por g à
esquerda e por g−1 à direita, obtemos: gg−1︸︷︷︸
= e
x gg−1︸︷︷︸
= e
= gg−1︸︷︷︸
= e
y gg−1︸︷︷︸
= e
⇒ x = y;
logo, f é uma função injetora.
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