Questão 4: Seja α : I → R3 uma curva parametrizada e seja v ∈ R3 um vetor fixado. Admita que α′(t) seja ortogonal a v para todo t ∈ I e que α(0) s...

Para provar que α(t) é ortogonal a v para todo t ∈ I, podemos usar a propriedade de que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é igual a zero. Sabemos que α′(t) é ortogonal a v para todo t ∈ I, o que significa que o produto escalar entre α′(t) e v é igual a zero. Podemos escrever isso matematicamente como: α′(t) · v = 0 Além disso, sabemos que α(0) também é ortogonal a v. Portanto, o produto escalar entre α(0) e v também é igual a zero: α(0) · v = 0 Agora, vamos considerar α(t) em um ponto genérico t ∈ I. Podemos usar a regra do produto para derivar α(t) em relação a t: α′(t) = dα(t)/dt Se α′(t) é ortogonal a v para todo t ∈ I, então o produto escalar entre α′(t) e v é igual a zero para todo t ∈ I: dα(t)/dt · v = 0 Isso significa que a derivada de α(t) em relação a t também é ortogonal a v para todo t ∈ I. Agora, vamos considerar α(t) em um ponto específico t = t0 ∈ I. Podemos integrar a derivada de α(t) em relação a t a partir de t = 0 até t = t0: ∫[0,t0] (dα(t)/dt) dt = ∫[0,t0] α′(t) dt = α(t0) - α(0) Como α(0) é ortogonal a v, temos: (α(t0) - α(0)) · v = α(t0) · v - α(0) · v = 0 - 0 = 0 Portanto, α(t0) também é ortogonal a v. Concluímos que α(t) é ortogonal a v para todo t ∈ I.