Questão 5: Seja α : I → R3 uma curva parametrizada, com α′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I. Mostre que |α(t)| é uma constante não nula se, e somente se, α(t) e...

Para mostrar que |α(t)| é uma constante não nula se, e somente se, α(t) é ortogonal a α′(t), podemos utilizar o produto escalar entre os vetores α(t) e α′(t). Se α(t) é ortogonal a α′(t), então o produto escalar entre eles é igual a zero: α(t) · α′(t) = 0 Podemos escrever o produto escalar como: |α(t)| * |α′(t)| * cos(θ) = 0 Onde θ é o ângulo entre os vetores α(t) e α′(t). Como α′(t) é diferente de zero, temos que |α′(t)| é diferente de zero. Portanto, a única forma de o produto escalar ser igual a zero é quando |α(t)| é igual a zero. Por outro lado, se |α(t)| é uma constante não nula, então o produto escalar entre α(t) e α′(t) também é igual a zero: α(t) · α′(t) = 0 Isso implica que cos(θ) = 0, ou seja, θ é igual a 90 graus. Portanto, α(t) é ortogonal a α′(t). Assim, mostramos que |α(t)| é uma constante não nula se, e somente se, α(t) é ortogonal a α′(t), para todo t em I.