Taller de física de campos 1. Un cuerpo de masa m es lanzado con rapidez V o=√GMTRT desde la superficie de la tierra formando un ángulo α con la ve...

Taller de física de campos
1. Un cuerpo de masa m es lanzado con rapidez V o=√GMTRT desde la superficie de la tierra formando un ángulo α con la vertical como se muestra en la figura. Despreciando la resistencia del aire y la rotación de la tierra, calcular:
a. La altura máxima respecto al centro de la tierra que alcanza la masa m.
b. El semieje mayor de la órbita.
c. La excentricidad de la órbita.
a) Puedo plantear la ecuación de conservación de energía y de momento, en ambas tendré dos incógnitas tanto la distancia máxima como la velocidad en el punto b.
Conservación de la energía
Ea=Eb
12mVo2−GMmRT=12mVb2−GMmrmax
Conservación del momento
La=Lb
VoRTmsenα=VbrmaxmsenΦ
Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas, de una de las ecuaciones despejo una de las incógnitas y la reemplazo en la otra ecuación.
(V ¿¿o RT senα)rmax=V b¿V⃗ bb
a 1
2mVo2−GMmRT=12m ¿¿
Reemplazo Vo que me la da el problema
12mGMRT−GMmRT=12mRT2 senα2rmax2(GMmRT)−GMmrmax
Cancelo Mm
12RT−1RT=12RT senα2rmax2−1rmax
Multiplico por rmáx al cuadrado a ambos lados
−rmax22RT=RT senα22−rmax
Organizo la ecuación como una ecuación cuadrática.
rmax22RT−rmax+RT senα22=0
Soluciono con la fórmula del estudiante:
rmax=−b±√b2−4ac2a
Tenemos que
a=12RT b=−1 a=RT sen α2
rmax=RT±RT cos α
El valor mayor corresponde al apogeo y el menor al perigeo.
ra=RT+cos∝
rP=RT−cos∝
b) Puedo calcular el semi eje mayor de dos formas
2a=ra+rp
a=(r¿¿a+rp)2¿a=(R¿¿T+cos∝)+(RT−cos∝)2¿
a=RT
De otra forma, planteo la ecuación de energía
−GMm2a=12mVo2−GMmRT−GMm2a=12GmMRT−GMmRT−GMm2a=−GMmRTa=RT
c)
e=ra−rp
ra+rp
e=(RT+cos∝)−(RT−cos∝)(RT+cos∝)+(RT−cos∝)e=cos α
2. Hallar el campo gravitacional y el potencial gravitacional de media esfera hueca de radio a, en el punto P que se encuentra a una distancia y de la media esfera. Puedo ver el diferencial de masa como una varilla, cuyo largo es el perímetro de una circunferencia y el ancho es el arco de circunferencia.
d⃗g=−∫x1x2Gdmr2ûd⃗gyd⃗gd⃗gxadΦ2πx El cascarón esférico tiene una densidad de masa superficial que se puede calcular como:
ρ=mAρA=mdm=ρ2πxad∅
En la figura podemos calcular a que es igual x, porque es una variable desconocida y debo expresarla en términos de otras variables conocidas.
sen∅=xax=asen∅dA=2πa2sen∅d∅
Reemplazo el diferencial de área en el diferencial de masa
dm=ρ2πa2sen∅d∅
Calculo el vector director del campo gravitacional. Este posee 2 componentes. (Siempre tomo el vector como la suma de sus componentes)
u⃗=cos∝(ĵ)+sen∝(î)
El siguiente diagrama muestra el cascarón esférico mirado desde arriba y las componentes del vector campo gravitacional tomadas en ambos extremos del cascarón. Como el campo gravitacional tiene las componentes en x con igual magnitud, pero dirección contraria se cancelan por simetría.
u⃗=cos∝(ĵ)En el siguiente triángulo, nombramos uno de los lados del triángulo como b para conocer todos los lados del triángulo para poder aplicar trigonometría.
cosΦ=bax=acosΦ
cosα=y−acosΦr
Aplicamos ley del coseno
r2=a2+y2−2aycosΦ
Despejo el coseno de fi
cosΦ=a2+y2−r22ay
Reemplazar el coseno de fi en el coseno de alfa
cosα=y2−a2+r22yr
Necesito conocer el seno de fi, debido a que este hace parte del diferencial de área y debo expresarlo en términos de cosas conocidas. Derivo el coseno de fi para obtener el seno de fi
ddΦcosΦ=ddΦa2+y2−r22ay−senΦ=drddΦdrra2+y2−r22ay
Derivada de un cociente
−senΦ=−4ray4a2y2senΦ=ray
senΦdΦ=rdray
Calculamos el campo gravitacional
g=−∫x1x2Gdmr2ûdm=ρ2πa2sen∅d∅u⃗=y2−a2+r22yr(ĵ)g=−∫x1x2Gρ2πa2rdrayr2(y2−a2+r22yr)(ĵ)
Saca las constantes y cancelo lo que puedo. Los límites de integración van de acuerdo a la