2. (3,5) Dada uma base ortonormal positiva α e os vetores u⃗ = (0, 1, 1)α, v⃗ = (1, 0, 1)α, w⃗ = (1, 1, 3)α e z⃗ = (1, 2, 3)α responda: a) (0,8) A ...

a) A lista de vetores (u⃗, v⃗, w⃗) é L.I. ou L.D.? Para determinar se a lista de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.), podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I., caso contrário, são L.D. Montando a matriz com os vetores: | 0 1 1 | | 1 0 1 | | 1 1 3 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: det = 0 + 1 + 3 - 1 - 0 - 1 = 2 Como o determinante é diferente de zero (det ≠ 0), concluímos que os vetores u⃗, v⃗ e w⃗ são linearmente independentes (L.I.). b) Calcule a projeção ortogonal de u⃗+ v⃗ na direção de w⃗ − z⃗. Para calcular a projeção ortogonal de um vetor na direção de outro vetor, podemos usar a fórmula: projw(u⃗+ v⃗) = ((u⃗+ v⃗) · w⃗ − z⃗) / ||w⃗ − z⃗||^2 * (w⃗ − z⃗) Calculando os produtos internos e as normas, temos: (u⃗+ v⃗) · w⃗ − z⃗ = (0, 1, 1) · (1, 1, 3) − (1, 2, 3) = 0 + 1 + 3 - 1 - 2 - 3 = -2 ||w⃗ − z⃗||^2 = ||(1, 1, 3) - (1, 2, 3)||^2 = ||(0, -1, 0)||^2 = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 Substituindo na fórmula, temos: projw(u⃗+ v⃗) = (-2) / 1 * (0, -1, 0) = (0, -2, 0) Portanto, a projeção ortogonal de u⃗+ v⃗ na direção de w⃗ − z⃗ é (0, -2, 0). c) Calcule a área do triângulo que tem dois lados dados por u⃗ e v⃗. A área de um triângulo formado por dois vetores u⃗ e v⃗ pode ser calculada usando a fórmula: área = 1/2 * ||u⃗ × v⃗|| Calculando o produto vetorial e a norma, temos: u⃗ × v⃗ = (0, 1, 1) × (1, 0, 1) = (1, -1, -1) ||u⃗ × v⃗|| = √(1^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √3 Substituindo na fórmula, temos: área = 1/2 * √3 = √3/2 Portanto, a área do triângulo formado pelos vetores u⃗ e v⃗ é √3/2. d) Calcule o volume do tetraedro formado pelos vetores u⃗, v⃗ e w⃗. O volume de um tetraedro formado por três vetores u⃗, v⃗ e w⃗ pode ser calculado usando a fórmula: volume = 1/6 * |u⃗ · (v⃗ × w⃗)| Calculando o produto vetorial e o produto interno, temos: v⃗ × w⃗ = (1, 0, 1) × (1, 1, 3) = (-1, -2, 1) u⃗ · (v⃗ × w⃗) = (0, 1, 1) · (-1, -2, 1) = 0 + (-2) + 1 = -1 Substituindo na fórmula, temos: volume = 1/6 * |-1| = 1/6 Portanto, o volume do tetraedro formado pelos vetores u⃗, v⃗ e w⃗ é 1/6.