Sejamα eβ as raízes da equação quadrática (x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) = 0. Determine o valor de 1 (α+1)(β +1) + 1 (α−2)(β −2) + 1 (α−3)(β −3).

Primeiramente, vamos simplificar a equação dada: (x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) = 0 (x² - 5x + 6) + (x² - 2x - 3) + (x² - x - 2) = 0 3x² - 8x + 1 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes: α = (8 + √46)/6 β = (8 - √46)/6 Substituindo os valores na expressão dada, temos: 1/(α+1)(β+1) + 1/(α-2)(β-2) + 1/(α-3)(β-3) = 1/[(αβ + α + β + 1)(αβ - α - β + 2)] + 1/[(αβ - 2α - 2β + 4)(αβ - 3α - 3β + 6)] + 1/[(αβ - 3α - 3β + 9)(αβ - α - β + 2)] = 1/[(αβ)² - (αβ) - 2αβ + 3α + 3β - 2] + 1/[(αβ)² - 5αβ + 6α + 6β - 8] + 1/[(αβ)² - 4αβ + 5α + 5β - 6] Substituindo os valores de α e β, temos: 1/[(8/6)² - (8/6) - 2(8/6) + 3(8 + √46)/6 + 3(8 - √46)/6 - 2] + 1/[(8/6)² - 5(8 + √46)/6 + 6(8/6) + 6(8 - √46)/6 - 8] + 1/[(8/6)² - 4(8 + √46)/6 + 5(8 + √46)/6 - 6] = 1/[(16/9) - (8/3) - (16/3) + (24 + 3√46)/3 + (24 - 3√46)/3 - 2] + 1/[(16/9) - (20 + 5√46)/3 + 6 - (20 - 5√46)/3 - 8] + 1/[(16/9) - (32 + 4√46)/3 + (40 + 5√46)/3 - 6] = 1/[(16/9) - (32/9) + (8/9) + (24/3)] + 1/[(16/9) - (40/9) + (6/1)] + 1/[(16/9) - (64/9) + (45/9)] = 1/[(8/9) + 8] + 1/[(6/9)] + 1/[(9/9)] = 9/8 Portanto, o valor da expressão é 9/8.