Sejamα eβ as raízes da equação quadrática (x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) = 0. Determine o valor de
1
(α+1)(β +1)
+
1
(α−2)(β −2)
+
1
(α−3)(β −3).

Question

Ed · Answer

Primeiramente, vamos simplificar a equação dada:
(x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) = 0
(x² - 5x + 6) + (x² - 2x - 3) + (x² - x - 2) = 0
3x² - 8x + 1 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes:
α = (8 + √46)/6
β = (8 - √46)/6

Substituindo os valores na expressão dada, temos:
1/(α+1)(β+1) + 1/(α-2)(β-2) + 1/(α-3)(β-3)
= 1/[(αβ + α + β + 1)(αβ - α - β + 2)] + 1/[(αβ - 2α - 2β + 4)(αβ - 3α - 3β + 6)] + 1/[(αβ - 3α - 3β + 9)(αβ - α - β + 2)]
= 1/[(αβ)² - (αβ) - 2αβ + 3α + 3β - 2] + 1/[(αβ)² - 5αβ + 6α + 6β - 8] + 1/[(αβ)² - 4αβ + 5α + 5β - 6]

Substituindo os valores de α e β, temos:
1/[(8/6)² - (8/6) - 2(8/6) + 3(8 + √46)/6 + 3(8 - √46)/6 - 2] + 1/[(8/6)² - 5(8 + √46)/6 + 6(8/6) + 6(8 - √46)/6 - 8] + 1/[(8/6)² - 4(8 + √46)/6 + 5(8 + √46)/6 - 6]
= 1/[(16/9) - (8/3) - (16/3) + (24 + 3√46)/3 + (24 - 3√46)/3 - 2] + 1/[(16/9) - (20 + 5√46)/3 + 6 - (20 - 5√46)/3 - 8] + 1/[(16/9) - (32 + 4√46)/3 + (40 + 5√46)/3 - 6]
= 1/[(16/9) - (32/9) + (8/9) + (24/3)] + 1/[(16/9) - (40/9) + (6/1)] + 1/[(16/9) - (64/9) + (45/9)]
= 1/[(8/9) + 8] + 1/[(6/9)] + 1/[(9/9)]
= 9/8

Portanto, o valor da expressão é 9/8.

Matemática

Sejamα eβ as raízes da equação quadrática (x−2)(x−3)+(x−3)(x+1)+(x+1)(x−2) = 0. Determine o valor de 1 (α+1)(β +1) + 1 (α−2)(β −2) + 1 (α−3)(β −3).

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6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação

1
x −1
− 1
n x
+
1
x +1
= 0
possui soluções reais.

7. Resolva a equação
1
3x −1
+
1
4x −1
+
1
7x −1
= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação
(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de
2a 5−5a 4+2a 3−8a 2
a 2+1
.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0
possuem uma raiz comum?

11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto
�
x1−
3
2
�
·
�
x2−
3
2
�
é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar para
que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−
a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.

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Matemática

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6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação1x −1− 1n x+1x +1= 0possui soluções reais.

7. Resolva a equação13x −1+14x −1+17x −1= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de2a 5−5a 4+2a 3−8a 2a 2+1.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0possuem uma raiz comum?

11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto�x1−32�·�x2−32�é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar paraque as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.

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6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação

1
x −1
− 1
n x
+
1
x +1
= 0
possui soluções reais.

7. Resolva a equação
1
3x −1
+
1
4x −1
+
1
7x −1
= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação
(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de
2a 5−5a 4+2a 3−8a 2
a 2+1
.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0
possuem uma raiz comum?

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto
�
x1−
3
2
�
·
�
x2−
3
2
�
é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar para
que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−
a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.