12. Dada a função utilidade U = (x+ 2)(y + 1) e uma restrição orçamentária dada por 2x+ 5y = 51. (a) Escreva a função Lagrange. (b) Ache os valores...

(a) Para escrever a função Lagrange, vamos considerar a função utilidade U = (x+2)(y+1) e a restrição orçamentária 2x+5y=51. A função Lagrange é dada por: L(x, y, λ) = U - λ(R - C) Onde U é a função utilidade, R é a restrição orçamentária e C é uma constante. Neste caso, temos: L(x, y, λ) = (x+2)(y+1) - λ(2x+5y-51) (b) Para encontrar os valores ótimos de x e y, precisamos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas parciais de L em relação a x, y e λ, igualadas a zero: ∂L/∂x = 0 ∂L/∂y = 0 ∂L/∂λ = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontraremos os valores ótimos de x e y. (c) Para verificar se a solução encontrada satisfaz a condição de segunda ordem para um máximo, é necessário calcular as derivadas parciais de segunda ordem de L em relação a x e y. Em seguida, é preciso verificar o sinal do determinante da matriz Hessiana. Se o determinante for negativo, a solução é um máximo. Se for positivo, é um mínimo. Se for igual a zero, o teste é inconclusivo.