4. Calcule o volume do sólido de revolução quando giramos a área entre y = 3x − x2 e y = 0 em torno do eixo x. Esboce a área e o sólido.

Para calcular o volume do sólido de revolução, quando giramos a área entre as curvas y = 3x - x^2 e y = 0 em torno do eixo x, podemos utilizar o método do disco ou do cilindro. Método do disco: 1. Encontre os pontos de interseção das curvas y = 3x - x^2 e y = 0. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos para x: 3x - x^2 = 0 x(3 - x) = 0 x = 0 ou x = 3 2. Determine o raio do disco em cada ponto x. O raio é dado pela distância entre a curva y = 3x - x^2 e o eixo x. Portanto, o raio é igual a y. 3. Calcule a área de cada disco. A área de um disco é dada por A = π * raio^2. 4. Integre a área de cada disco de x = 0 a x = 3 para obter o volume total. A fórmula da integral é V = ∫[a,b] A(x) dx, onde A(x) é a área de cada disco. Método do cilindro: 1. Encontre a função que representa a altura do cilindro em função de x. A altura é dada pela diferença entre as curvas y = 3x - x^2 e y = 0. Portanto, a altura é igual a y = 3x - x^2. 2. Determine o raio do cilindro em cada ponto x. O raio é dado pela distância entre a curva y = 3x - x^2 e o eixo x. Portanto, o raio é igual a y. 3. Calcule a área da base de cada cilindro. A área da base é dada por A = π * raio^2. 4. Integre a área da base de cada cilindro de x = 0 a x = 3 para obter o volume total. A fórmula da integral é V = ∫[a,b] A(x) dx, onde A(x) é a área da base de cada cilindro. Esboce a área e o sólido: Para esboçar a área, desenhe as curvas y = 3x - x^2 e y = 0 em um plano cartesiano. A área será a região entre essas duas curvas. Para esboçar o sólido, imagine que a área entre as curvas está girando em torno do eixo x. O sólido será formado por todos os discos ou cilindros gerados por essa rotação.