3) Seja m um inteiro positivo, prove que: a) “a relação de congruência no módulo m é reflexiva.” b) “a relação de congruência no módulo m é simétr...

Para provar as propriedades da relação de congruência no módulo m, podemos usar a definição de congruência. a) A relação de congruência no módulo m é reflexiva, pois todo número é congruente a si mesmo. Ou seja, para qualquer número a, temos que a ≡ a (mod m). b) A relação de congruência no módulo m é simétrica, pois se a ≡ b (mod m), então também temos b ≡ a (mod m). Isso ocorre porque se a diferença entre a e b é um múltiplo de m, então a diferença entre b e a também será um múltiplo de m. c) A relação de congruência no módulo m não é antissimétrica. A antissimetria implica que se a ≡ b (mod m) e b ≡ a (mod m), então a = b. No entanto, isso não é verdade para a congruência modular, pois diferentes números podem ser congruentes no mesmo módulo. d) A relação de congruência no módulo m é transitiva. Isso significa que se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então também temos a ≡ c (mod m). Isso ocorre porque se a diferença entre a e b é um múltiplo de m, e a diferença entre b e c também é um múltiplo de m, então a diferença entre a e c também será um múltiplo de m. Portanto, as afirmações a) e d) são verdadeiras, enquanto b) e c) são falsas.