Prove que: “Se x e y são inteiros e x+ y é ímpar, então (x+ y)2 também é ímpar”.

Para provar que "Se x e y são inteiros e x + y é ímpar, então (x + y)² também é ímpar", podemos usar uma prova por contradição. Suponha que x e y sejam inteiros e x + y seja ímpar, mas (x + y)² seja par. Se (x + y)² é par, então podemos escrever (x + y)² = 2k, onde k é um número inteiro. Expandindo a expressão, temos (x + y)² = (x + y)(x + y) = x² + 2xy + y². Agora, vamos considerar os possíveis casos para x e y: 1) Se x e y são pares: Se x e y são pares, então podemos escrever x = 2a e y = 2b, onde a e b são números inteiros. Substituindo esses valores na expressão x² + 2xy + y², temos: x² + 2xy + y² = (2a)² + 2(2a)(2b) + (2b)² = 4a² + 8ab + 4b² = 4(a² + 2ab + b²). A expressão 4(a² + 2ab + b²) é divisível por 4, portanto é par. Isso contradiz a suposição de que (x + y)² é par. 2) Se x é par e y é ímpar: Se x é par e y é ímpar, então podemos escrever x = 2a e y = 2b + 1, onde a e b são números inteiros. Substituindo esses valores na expressão x² + 2xy + y², temos: x² + 2xy + y² = (2a)² + 2(2a)(2b + 1) + (2b + 1)² = 4a² + 8ab + 4b² + 4a + 4b + 1 = 4(a² + 2ab + b² + a + b) + 1. A expressão 4(a² + 2ab + b² + a + b) é divisível por 4, portanto é par. Adicionando 1 a um número par, obtemos um número ímpar. Isso contradiz a suposição de que (x + y)² é par. 3) Se x é ímpar e y é par: Se x é ímpar e y é par, então podemos escrever x = 2a + 1 e y = 2b, onde a e b são números inteiros. Substituindo esses valores na expressão x² + 2xy + y², temos: x² + 2xy + y² = (2a + 1)² + 2(2a + 1)(2b) + (2b)² = 4a² + 4a + 1 + 8ab + 4b² = 4(a² + 2ab + b² + a) + 1. A expressão 4(a² + 2ab + b² + a) é divisível por 4, portanto é par. Adicionando 1 a um número par, obtemos um número ímpar. Isso contradiz a suposição de que (x + y)² é par. Em todos os casos possíveis, chegamos a uma contradição. Portanto, podemos concluir que se x e y são inteiros e x + y é ímpar, então (x + y)² também é ímpar.