Resolva os itens abaixo indicando todos os cálculos necessários e explicando seus passos. (a) Enconte a fatoração do número 273. (b) Utilizando a f...

(a) Para encontrar a fatoração do número 273, vamos dividir o número por seus divisores primos até obtermos apenas fatores primos. Começamos dividindo por 3, pois é o menor divisor primo de 273. Temos: 273 ÷ 3 = 91 Agora, dividimos 91 por 7, que é outro divisor primo: 91 ÷ 7 = 13 Portanto, a fatoração do número 273 é 3 × 7 × 13. (b) Agora, utilizando a fatoração obtida no item (a), podemos determinar quantos divisores positivos o número 273 tem. Para isso, basta contar quantas combinações diferentes de fatores primos podemos formar. No caso de 273, temos 3 opções para o fator 3 (0, 1 ou 2 vezes), 2 opções para o fator 7 (0 ou 1 vez) e 2 opções para o fator 13 (0 ou 1 vez). Portanto, o número de divisores positivos de 273 é dado por: (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16 Agora, vamos listar todos os divisores positivos de 273: 1, 3, 7, 13, 21, 39, 91, 273 (c) Para verificar se o número 703 é primo, precisamos verificar se ele possui divisores além de 1 e ele mesmo. Vamos testar a divisão por números primos até a raiz quadrada de 703. Se encontrarmos algum divisor, então o número não é primo. Caso contrário, ele é primo. Vamos fazer os cálculos: √703 ≈ 26,5 Vamos testar a divisão por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Nenhum desses números divide 703. Portanto, podemos concluir que 703 é primo. (d) Para fatorar os números 495 e 726, vamos seguir o mesmo processo utilizado no item (a). Vamos começar com o número 495: 495 ÷ 3 = 165 165 ÷ 3 = 55 55 ÷ 5 = 11 Portanto, a fatoração do número 495 é 3 × 3 × 5 × 11. Agora, vamos fatorar o número 726: 726 ÷ 2 = 363 363 ÷ 3 = 121 121 ÷ 11 = 11 Assim, a fatoração do número 726 é 2 × 3 × 11 × 11. Agora, podemos calcular o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) de 495 e 726 utilizando suas fatorações: mdc(495, 726) = 3 × 11 = 33 mmc(495, 726) = 2 × 3 × 11 × 11 = 726 (e) Para encontrar todos os divisores positivos comuns de 495 e 726, vamos listar os divisores de cada número e verificar quais são comuns: Divisores de 495: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 99, 165, 495 Divisores de 726: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66, 121, 242, 363, 726 Os divisores positivos comuns são: 1, 3, 11, 33. (f) Para encontrar dois números x e y tais que mdc(x, y) = 14 e mmc(x, y) = 588, podemos utilizar a propriedade de que o mdc(x, y) × mmc(x, y) = x × y. Portanto, temos: 14 × 588 = x × y Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 14: 588 = x × y Agora, precisamos encontrar dois números cujo produto seja igual a 588. Podemos fazer isso fatorando o número 588: 588 ÷ 2 = 294 294 ÷ 2 = 147 147 ÷ 3 = 49 49 ÷ 7 = 7 Assim, a fatoração do número 588 é 2 × 2 × 3 × 7 × 7. Agora, podemos escolher dois números diferentes desses fatores para obter o produto 588. Por exemplo, podemos escolher x = 2 × 3 × 7 = 42 e y = 2 × 7 × 7 = 98. Verificando o mdc e mmc desses números: mdc(42, 98) = 2 mmc(42, 98) = 588 Portanto, os números x = 42 e y = 98 atendem às condições mdc(x, y) = 14 e mmc(x, y) = 588.